Задача от кандидат-студентски

[wenci]

Здравейте
Може ли някой да ми помогне да се справя със следната задача:
Намерете най-малкия и най-големия корен на уравнението [tex](3a^2+2)x^2+(9a^2+4)x-6=0[/tex], при положение, че параметърът a удовлетворява неравенството [tex]\mid 2a+1\mid \le 3[/tex]

[ptj]

[tex]|2a+1|<3\Leftrightarrow-3<2a+1<3\Leftrightarrow -4<2a<2\Leftrightarrow -2<a<1[/tex]

[tex]f(x)=(3a^2+2)x^2+(9a^2+4)x-6[/tex]

По-нататък вероятно може да се реши с формулите за корените на квадратно уравнение и изследване на функция, но аз ще ви предложа един друг начин (приложим често на състезания).
Предполагаме, че въпросните критични точки на [tex]"а"[/tex] могат да бъдат евентуално краищата на интервала [tex](-2;1)[/tex] или [tex]0[/tex]-та.
Тогава ще се опитаме да получим неравенство от вида [tex]f(x)\le0[/tex] или [tex]f(x)\ge0[/tex], което да се достига само за някое [tex]а_0\in(-2;1)[/tex], a за останалите точки от споменатия интервал неравенството да е строго.


[tex]f(1)=12a^2\ge0[/tex],
Числото [tex]1[/tex] е корен на [tex]f(x)[/tex] само при [tex]а=0[/tex], а за останалите [tex]а\in{\bigg((-2;0)\cup(0;1)\bigg)}[/tex] е изпълнено [tex]f(1)=12a^2>0[/tex].
Понеже 1 е надясно (по числовата ос) от: [tex](-9a^2-4)[/tex] - върха на параболата на [tex]f(x)[/tex]), а той е насочен надолу [tex]3а^2+2>0[/tex],
то числото 1 е най-големия корен на [tex]f(x)[/tex] и се достига при [tex]a=0[/tex].

Ако ви е трудно да разберете последния ред - числото 1 е елемент на частта от десния клон на параболата на [tex]f(x)[/tex] ( с връх насочен надолу), а тя е над абцисната ос, т.е. не може да съдържа друг корен по-голям от 1.

...

П.П. Ще я довърша вечерта.

[Nathi123]

3a[tex]^{2}[/tex]+2>0за всяко а [tex]\Rightarrow[/tex] уравнението е квадратно за всяко а . D=[tex](9a^{2}+4)^{2}[/tex]+24(3[tex]a^{2}+2)[/tex]=[tex](9a^{2}+8)^{2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x_{1 }[/tex] =- 3 [tex]\cup[/tex] [tex]x_{2 }=\frac{2}{3a^{2}+2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]x_{1 }<0[/tex] и [tex]x_{2 }>0[/tex] за [tex]\forall a[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] най-малкият корен е х = -3./2a+1/[tex]\le 3[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] a[tex]\in[-2,1][/tex][tex]\Leftrightarrow[/tex] -2[tex]\le a \le 1[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] 2[tex]\le 3a^{2}+2\le 5[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{2}{3a^{2}+2}\le 1[/tex] т.е. [tex]x_{2 }\le 1[/tex] .

[ptj]

[tex]|2a+1|<3\Leftrightarrow-3<2a+1<3\Leftrightarrow -4<2a<2\Leftrightarrow -2<a<1[/tex]

[tex]f(x)=(3a^2+2)x^2+(9a^2+4)x-6[/tex]

По-нататък вероятно може да се реши с формулите за корените на квадратно уравнение и изследване на функция, но аз ще ви предложа един друг начин (приложим често на състезания).

Целта е първо да намерим по някакъв начин критичните точки на [tex]"а"[/tex] (търсени в условието), а после за съответните [tex]x[/tex] да получим неравенства от вида [tex]f(x)\le0[/tex] или [tex]f(x)\ge0[/tex].

Забелязваме, че "[tex]а[/tex]" участва само с 2-ра степен в двата коефициента :[tex](3a^2+2)[/tex] и [tex](9a^2+4)[/tex].
Тогава разглеждания интервал [tex](-2;1)[/tex] може да се замени с [tex][0;2)[/tex], защото [tex]а^2=(-а)^2[/tex].
Има голяма вероятност едната критична точка да е [tex]а=0[/tex], защото е край на последния интервал и се достига.

При [tex]а=0[/tex] : [tex]f(x)=0 \Leftrightarrow x^2+2x-3=(x-1)(x+3)=0[/tex]


[tex]f(1)=12a^2\ge0[/tex],
Числото [tex]1[/tex] е корен на [tex]f(x)[/tex] само при [tex]а=0[/tex], а за останалите [tex]а\in[0;2)[/tex] е изпълнено [tex]f(1)=12a^2>0[/tex].
Понеже 1 е надясно (по числовата ос) от: [tex]-\frac{9a^2+4}{2(3a^2+2)}<0[/tex] - върха на параболата на [tex]f(x)[/tex], а той е насочен надолу [tex](3а^2+2>0)[/tex],
то числото 1 е най-големия корен на [tex]f(x)[/tex] и се достига при [tex]a=0[/tex].

Ако ви е трудно да разберете последния ред - числото 1 е елемент на частта от десния клон на параболата на [tex]f(x)[/tex] ( с връх насочен надолу), а тя е над абцисната ос, т.е. не може да съдържа друг корен по-голям от 1.


[tex]f(-3)=(3a^2+2).(-3)^2+(9a^2+4).(-3)-6=27a^2+18-27a^2-12-6=0[/tex]
Получихме, че числото (-3) винаги е корен на [tex]f(x)=0[/tex], независимо от стойността на "[tex]а[/tex]".

Знаем, че корените на квадратно уравнение [tex]Аx^2+By+C=0[/tex], се задават с формулата [tex]x_{1,2}=\frac{-B\pm\sqrt{D}}{2A}[/tex].
В нашия случай [tex]B,A,D[/tex] не променят знака си,т.е. ако [tex](-3)[/tex] винаги е корен, то той не може да бъде веднъж по-малкия, а друг път по-големия корен на [tex]f(x)=0[/tex]. Понеже при [tex]а=0[/tex] : [tex](-3)[/tex] e по-малкия корен на [tex]f(x)=0[/tex], то той винаги е такъв.

П.П. Формално в решението трябва да присъстват и съответните стойности на [tex]A,B[/tex]
и разбира се- да сметнем [tex]D[/tex] (за да сме сигурни, че [tex]f(x)=0[/tex] има корени [tex]\forall a\in[0;2)[/tex].