Неравенство arccosx < arctgx

[Гост]

arccosx < arctgx

[KOPMOPAH]

Функцията [tex]arccos(x)[/tex] съществува само в интервала [tex][-1;1][/tex]. Неравенството е очевидно изпълнено за [tex]x<0[/tex], тъй като в този интервал [tex]arccos(x) \in (\frac{\pi}{2};\pi][/tex], a [tex]arctg(x)<0[/tex]. Остава да разгледаме случая [tex]x \in [0;1][/tex]
Прилагаме към двете страни на неравенството функцията [tex]sin[/tex]. Двете страни на неравенството са в интервала [tex][0;\frac{\pi}{2}][/tex], където синусът расте и няма да се промени знака на неравенството.
От формулите за обратни тригонометрични функции имаме:
[tex]arccos(x)=arcsin(\sqrt{1-x^2})[/tex], при [tex]x \in [0;1][/tex] и
[tex]arctg(x)=arcsin(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})[/tex].
Получаваме
[tex]sin(arcsin(\sqrt{1-x^2}))<sin(arcsin(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}) )[/tex],
[tex]\sqrt{1-x^2} < \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}[/tex],
[tex]\sqrt{1-x^4} < x[/tex], повдигаме на квадрат (няма проблем, защото [tex]x>0[/tex]),
[tex]{x^4}+{x^2}-1<0[/tex], което има решение [tex]x \in (0;\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}})[/tex].
Окончателното решение на неравенството е [tex]x \in [-1; \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}})[/tex].

P.S. Наистина ли в 12 клас решавате такива задачи или е от извънкласен материал?