Няколко задачи от граници

[Гост]

зад.1

[tex]\lim_{ n\to \infty}\frac{2n(sin (n!))}{3n+5}[/tex]

зад.2

[tex]\lim_{ n\to \infty}(\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}}+...+\frac{n}{n^{2}})[/tex]

зад.3

[tex]\lim_{n \to \infty}\frac {n^{2}-2n+1}{n^{2}-4n+4}[/tex] цялото е на степен n, но не знам как да го напиша

зад.4
Докажете:
[tex]{n \choose 0} + {n \choose 1}+{n \choose 2}+.....+{n \choose n}= 2^{n}[/tex], n принадлежи на N

[Knowledge Greedy]

В задача 1 има произведение на сходяща редица [tex]\frac{2n}{3n+5}[/tex] и редица с безброй много точки на сгъстяване, затова тази граница не съществува.

Във втората трябва да умееш да намираш сума на аритметична прогресия [tex](1+2+3+...+n)[/tex] и тогава тя леко се свежда до
[tex]\lim_{n \to \infty0}\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{1}{2}.[/tex]


В трета [tex]\lim_{n \to \infty0} \left ( \frac{n^2-2n+1}{n^2-4n+4} \right )^n[/tex] представи във вида [tex]\lim_{n \to \infty}\left ( 1+\frac{1}{-(n-2)} \right )^{-(n-2)\frac{-2n}{n-2}}[/tex]
и използвай основната граница
[tex]\lim_{n \to \infty}\left (1+\frac{1}{n} \right )^n=e[/tex]

Отговор: [tex]e^{-2}[/tex]

Четвъртата да знае е чест за всеки деветокласник .
Това е развитието на нютоновия бином при [tex]x=1[/tex].
Ето го
[tex](1+x)^n=\left (\frac{n}{0} \right )+\left (\frac{n}{1} \right )x+\left (\frac{n}{1} \right )x^2+...+\left (\frac{n}{k} \right )x^k+...+\left (\frac{n}{n} \right )x^n[/tex]
И в това тъждество заместваш с [tex]x=1[/tex].
__________
По последното се надявам да си спомняш формулите от 8 клас
[tex](x+1)^2=x^2+2x+1[/tex]
[tex](x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1[/tex]
[tex](x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1[/tex] -това е биномът на Нютон на различни степени.

[Гост]

много мерси

[Гост]

Може ли в трета по-подробно да обясните как получихте това? Аз получавам 1-2/n+1/n*n цялото върху 1-4/n+4/*n*n цялото на n-та степен

[Knowledge Greedy]

[tex]n^2-2n+1=(n-1)^2[/tex]
[tex]n^2-4n+4=(n-2)^2[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty}\left (\frac{(n-1)^2}{(n-2)^2} \right )^{n}
=\lim_{n \to \infty}\left (\frac{n-1}{n-2} \right )^{2n}=\lim_{n \to \infty}\left ( \frac{(n-2)+1}{n-2} \right )^{2n}[/tex]

Значи (добре било да се разпише по-подробно )

[tex]\lim_{n \to \infty}\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2-4n+4} \right )^n=\lim_{n \to \infty}\left (1+ \frac{1}{n-2} \right )^{2n}=[/tex]
[tex]=\lim_{n \to \infty}\left (1+ \frac{1}{n-2} \right )^{2(n-2)}. \lim_{n \to \infty}\left (1+ \frac{1}{n-2} \right )^4=[/tex]

[tex]=\left ( \lim_{n-2 \to \infty}\left (1+ \frac{1}{n-2} \right )^{n-2} \right )^2.1=[/tex]

[tex]=e^2.1=e^2[/tex]

[Гост]

и как разбра че има безброй точки на сгъстяване?x^{y}

[Гост]

Значи все пак съм сметнал правилно, пак благодаря!

Искам да попитам отново за 4та задача. Смятам го чрез индукция, но накравя получавам [tex]2^{к} +1 = 2^{к+1}[/tex], което не е вярно. Къде бъркам?

[Knowledge Greedy]

...Искам да попитам отново за 4та задача. Смятам го чрез индукция, но накравя получавам [tex]2^{к} +1 = 2^{к+1}[/tex], което не е вярно. Къде бъркам?

Нямам никаква идея. Трябва да видя доказателството ти.
За да приложим ППМИ (метод на пълната математическа индукция), трябва да знаем някои свойства на биномните коефициенти. (Навсякъде в текста с [tex]k, m, n[/tex] означаваме естествени числа или [tex]0[/tex], като [tex]0 \le k \le m[/tex])
[tex](1) \,\ \binom{m}{0}=1[/tex]
[tex](2) \,\ \binom{m}{k}=\binom{m}{m-k}[/tex]
Следствие 1. [tex]\Rightarrow \,\ \binom{m+1}{0}=\binom{m}{0}[/tex]
Следствие 2. [tex]\Rightarrow \,\ \binom{m+1}{m+1}=\binom{m}{m}[/tex]
[tex](3) \,\ \binom{m}{k}+ \binom{m}{k+1}= \binom{m+1}{k+1}[/tex]

С ППМИ задачата става така.
База.
n=1
[tex]\binom{1}{0}+\binom{1}{1}=2^1[/tex] - вярно
Индукционен преход.
Допускаме, че твърдението е вярно за [tex]n=m\ge 1[/tex]
[tex]\binom{m}{0}+\binom{m}{1}+\binom{m}{2}+...+\binom{m}{m}=2^m \,\ (\ast)[/tex]
Ще докажем, че твърдението е вярно за [tex]n=m+1[/tex]
Умножаваме двете страни на равенството [tex](\ast)[/tex] по [tex]2[/tex].
[tex]2\binom{m}{0}+2\binom{m}{1}+2\binom{m}{2}+...+2\binom{m}{m}=2^{m+1}[/tex]
Представяме лявата страна по следния начин
[tex]\binom{m}{0}+\left [\binom{m}{0}+\binom{m}{1} \right ]+\left [\binom{m}{1}+\binom{m}{2} \right ]+\left [\binom{m}{2}+\binom{m}{3} \right ]+...+\left [\binom{m}{m-2}+\binom{m}{m-1} \right ]+\left [\binom{m}{m-1}+\binom{m}{m} \right ]+\binom{m}{m} =2^{m+1}[/tex]
Заместваме според следствията 1 и 2.
[tex]\binom{m+1}{0}+\left [\binom{m}{0}+\binom{m}{1} \right ]+\left [\binom{m}{1}+\binom{m}{2} \right ]+\left [\binom{m}{2}+\binom{m}{3} \right ]+...+\left [\binom{m}{m-2}+\binom{m}{m-1} \right ]+\left [\binom{m}{m-1}+\binom{m}{m} \right ]+\binom{m+1}{m+1} =2^{m+1}[/tex]
Заместваме според свойството 3 всеки от изразите в правоъгълните скоби.
[tex]\binom{m+1}{0}+\left [\binom{m+1}{1} \right ]+\left [\binom{m+1}{2} \right ]+...+\left [\binom{m+1}{m-1} \right ]+\left [\binom{m+1}{m} \right ]+\binom{m+1}{m+1} =2^{m+1}[/tex]
Сега вече правоъгълните скоби са излишни, а това което се получи е точно т.к.т.д.
Съгласно ППМИ твърдението е вярно за всяко естествено [tex]n[/tex].