Екстремум

[wenci]

Здравейте
В задачата, която ме затруднява, трябва да определя екстремумите, инфлексните точки, както и интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост. Накрая трябва табличка да има за x,y`,y`` и y.
[tex]f(x)=\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+1}[/tex]
Аз получавам някакви нечовешки функции(поне за мен ) от 5-та степен и не мога да ги реша.

[Гост]

Е нищо. Ти си човек, как да работиш с нечовешки функции. Споко.

[Добромир Глухаров]

[tex]f(x)=\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+1}[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{1}{3}(x-1)^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{3}(x+1)^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}>0\ \ \forall x[/tex] - понеже в знаменатели имаме квадрати на различни числа, всеки от които е неотрицателен.

Значи функцията е монотонно растяща.

[tex]f''(x)=\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)(x-1)^{-\frac{5}{3}}+\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)(x+1)^{-\frac{5}{3}}=[/tex]

[tex]=-\frac{2}{9}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^5}}+\frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^5}}\right)=-\frac{2}{9}\frac{\sqrt[3]{(x+1)^5}+\sqrt[3]{(x-1)^5}}{\sqrt[3]{(x^2-1)^5}}[/tex]

[tex]x\in(-\infty;-1)\Rightarrow x^2-1>0;\sqrt[3]{(x+1)^5}+\sqrt[3]{(x-1)^5}<0\Rightarrow f''(x)>0\rightarrow f(x)\cup[/tex]

[tex]x\in(-1;0)\Rightarrow x^2-1<0;\sqrt[3]{(x+1)^5}+\sqrt[3]{(x-1)^5}<0\Rightarrow f''(x)<0\rightarrow f(x)\cap[/tex]

[tex]x=0\Rightarrow x^2-1<0;\sqrt[3]{(x+1)^5}+\sqrt[3]{(x-1)^5}=0\Rightarrow f''(x)=0\rightarrow f(x)\to\ infl[/tex]

[tex]x\in(0;1)\Rightarrow x^2-1<0;\sqrt[3]{(x+1)^5}+\sqrt[3]{(x-1)^5}>0\Rightarrow f''(x)>0\rightarrow f(x)\cup[/tex]

[tex]x\in(1;+\infty)\Rightarrow x^2-1>0;\sqrt[3]{(x+1)^5}+\sqrt[3]{(x-1)^5}>0\Rightarrow f''(x)<0\rightarrow f(x)\cap[/tex]

[Добромир Глухаров]

Пропуснато: Инфлексия имаме и за [tex]x=-1[/tex] и за [tex]x=1[/tex] - в тези точки втората производна става безкрайност, но по-важното е, че обръща знака си.

[Добромир Глухаров]

А графиката е нещо такова:

f(x).png (9.45 KiB) Прегледано 192 пъти