Pmax

[Гост]

Един прозорец има форма на правоъгълник, горният край на който завършва с полукръг. Каква трябва да бъде дължината на основата на правоъгълника, за да има прозорецът най-голямо лице при дадин периметър p?
Помогнете

[Knowledge Greedy]

Означаваме с [tex]h[/tex] височината на прозореца.
Диаметърът на окръжността [tex]2R[/tex] - това е и дължината на основата на прозореца.
Лицето [tex]S=2Rh+ \frac{1}{2}. \pi R^2 \,\ (\ast)[/tex]
Арката на прозореца е половината от дължината на окръжността [tex]S= \frac{1}{2}. 2\pi R=\pi R[/tex]
Дадено е [tex]2R + \pi R +2h=p \,\ \Rightarrow \,\ h=\frac{1}{2}(p-2R- \pi R)[/tex]
Заместваме във формулата за лицето [tex]\,\ (\ast)[/tex], което се получава функция на [tex]R[/tex]
[tex]S(R)=(p-2R- \pi R)R+ \frac{1}{2}. \pi R^2[/tex]
и то квадратна
[tex]S(R)=- \frac{\pi+4}{2}. R^2+pR \,\ (\ast \ast)[/tex]
Върхът на параболата е при
[tex]R=-\frac{b}{2a}=\frac{-p}{-2\frac{\pi+4}{2}}[/tex]
Следователно
[tex]R=\frac{p}{\pi+4}[/tex]
Заместваме във формулата за лицето [tex]\,\ (\ast \ast)[/tex] с намереното [tex]R[/tex] и получаваме [tex]S_{max}[/tex],
което съвпада с [tex]max S(x)[/tex] в дефиниционния интервал [tex]\left ( 0;\frac{p}{\pi+2} \right ][/tex]