Разстояние м/у центровете на вписани окръжности

[Aro]

Здравейте! Знам, че задачата е лесна, но нещо ми убягва и ще се радвам, ако ми подскажете малко :)

Даден е правоъгълен [tex]\triangle ABC[/tex] с катет [tex]AC = 8 cm[/tex] и медиана [tex]CM = 5 cm[/tex] към хипотенузата [tex]AB[/tex]. На колко е равно разстоянието между центровете на вписаните окръжности в [tex]\triangle AMC[/tex] и [tex]\triangle BMC[/tex]?

Получих, че [tex]r_1 = \frac{4}{3}cm[/tex] и [tex]r_2 = \frac{3}{2}cm[/tex]. Проблемът е, че двете окръжности не се допират в една точка. И оттук не се сещам накъде.

[garion]

спускаш перпендикуляри от центровете към основите. получава се правоъгълен трапец на който му знаеш двете основи и едната страна. остава да намериш последната която ти е и разстоянието между центровете на двете вписани окръжности.

[Aro]

Благодаря. Много ми помогна :D

[Henz]

Нали имаш предвид,ако пуснем от o1 перпендикуляр към основата да кажем [tex]O1P\bot AB[/tex], а от [tex]O2Q\bot AB[/tex] и се получава трапеца 0102PQ.Ама на него му знаем само 01P и 02Q,PQ не го знаем и 0102 което търсим също не го знаем.Или аз нещо бъркам.Та при тва положение как ще намерим 0102?Щото същата задача съм я мъчил и аз се опитах първо да я реша като Aro,да намеря радиусите и после да ги събера ама видях че няма да стане номера щото нямат обща точка.

[Aro]

По моя чертеж (който съм прикачила), като пуснем перпендикулярите към [tex]AB[/tex], получаваме точките [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex]. Отсечката [tex]PQ[/tex] много лесно се намира. Аз малко идиотски го реших, но ще правя подобрения, когато не ми се спи толкова.

В [tex]\triangle AMC[/tex] (равнобедрен) ъглополовящата при върха [tex]\angle AMC[/tex] е също височина и медиана и пресича [tex]AC[/tex] в точка [tex]L[/tex]. [tex]ML\bot AC[/tex].
От [tex]\triangle AML[/tex]:
[tex]\angle AML=\alpha[/tex]
[tex]tan\alpha=\frac{AL}{ML}=\frac{4}{3}[/tex]
[tex]tan\alpha=\frac{4}{3}=\frac{r_1}{PM}\Rightarrow PM=1cm[/tex]
Аналогично [tex]MQ = 2cm[/tex].
PQ = 3cm и в трапеца много лесно с Питагоровата теорема се намира, че [tex]O_1O_2 = \frac{5\sqrt{13}}{6}[/tex].

[Henz]

Мерси за обяснението. Въобще нямаше да се сетя така да намеря PQ .

[stflyfisher]

От [tex]\triangle AML[/tex]:
[tex]tan\angle CAB=\frac{4}{3}[/tex]?????
[tex]\angle CAB=\angle AML=\alpha[/tex]???? (ъгли с перпендикулярни рамене)

В [tex]\triangle AML, \angle ALM=90^\circ ,AL=4, ML=3, AM=5[/tex]

1.) [tex]tan\angle CAB=\frac{ML}{AL}=\frac{3}{4}[/tex]
2.)

[tex]\angle CAB=\angle AML=\alpha[/tex]

=> [tex]\triangle AML[/tex]-равнобедрен=>[tex]AL=ML, tan\angle CAB=\frac{ML}{AL}= \frac{AL}{AL}=1[/tex] , но [tex]AL=4, ML=3[/tex], [tex]tan\angle CAB=\frac{ML}{AL}=\frac{3}{4}[/tex]

[Aro]

Благодаря, че ми обърна внимание на проблема. В бързината грешно съм го записала горе.