Уравнение

[Гост]

Нека m и n са положителни числа. Да се докаже, че уравнението [tex]\frac{1}{x}[/tex]+[tex]\frac{1}{x-m}[/tex] + [tex]\frac{1}{x+n}[/tex]=0 има реални корени и единият от тях е в интервала ([tex]\frac{m}{3}[/tex];[tex]\frac{2m}{3}[/tex]), а другия е в интервала (- [tex]\frac{2n}{3}[/tex];-[tex]\frac{n}{3}[/tex]).

[Alex98]

[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{x-m}+\frac{1}{x+n}=0[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{x(x+n)+x(x-m)+(x+n)(x-m)}{x(x-m)(x+n)}=0[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{3x^2+2(n-m)x-mn}{x(x-m)(x+n)}=0[/tex]
[tex]\Rightarrow f(x)=3x^2+2(n-m)x-mn=0[/tex]
[tex]D=4m^2+4n^2-8mn+12mn=4(m^2+mn+n^2)> 0 \Rightarrow[/tex] даденото уравнение има 2 реални корена

[tex]f(\frac{m}{3})=\frac{m^2}{3}+\frac{2mn}{3}-\frac{2m^2}{3}-mn=-\frac{m^2}{3}-\frac{mn}{3}<0[/tex]
[tex]f(\frac{2m}{3})=\frac{4m^2}{3}+\frac{4mn}{3}-\frac{4m^2}{3}-mn=\frac{mn}{3}>0[/tex]
[tex]\Rightarrow x_1\in (\frac{m}{3};\frac{2m}{3})[/tex]
[tex]f(-\frac{n}{3})=\frac{n^2}{3}+\frac{2mn}{3}-\frac{2n^2}{3}-mn=-\frac{n^2}{3}-\frac{mn}{3}<0[/tex]
[tex]f(-\frac{2n}{3})=\frac{4n^2}{3}+\frac{4mn}{3}-\frac{4n^2}{3}-mn=\frac{mn}{3}>0[/tex]
[tex]\Rightarrow x_2\in (-\frac{2n}{3};-\frac{n}{3})[/tex]