Най-голяма и най-малка стойност на функция

[Гост]

Здравейте
Някой може ли да ми обясни как се решава такъв тип задача, без да се изследва функцията и да се построява графика?
зад. Най-голяма и най-малка стойност на функция:
[tex]f(x)=x^3-3x[/tex] в [tex][0;2][/tex]; [tex][-2;3][/tex] и в [tex][-\infty;+\infty][/tex]

[Knowledge Greedy]

Всеки път - различно. Но всеки път се прави изследване! Въпросът обаче е друг, предполагам. Иска се алгебрично изследване - без производна. Достъпното средство се нарича "монотонност".
[tex]f(x)=x^3−3x[/tex] в [tex][0;2][/tex]
Ще разгледаме два случая (защо два и защо точно тези - по-долу).
Нека [tex]0 \le x_1< x_2 \le 1[/tex] Оттук [tex]\Rightarrow 0 \le x^3_1<x^3_2 \le 1 \,\ (\ast )[/tex]
Още от същото [tex]0 \le x_1< x_2 \le 1 \Rightarrow -1 \le -x_2< - x_1 \le 0 \Rightarrow -3 \le -3 x_1< -3 x_2 \le 0 \,\ (\ast \ast)[/tex]
Събирайки почленно [tex](\ast )[/tex] и [tex](\ast \ast)[/tex]
получаваме
[tex]-3 \le x^3_1 -3 x_1< x^3_2-3 x_2 \le 1[/tex]
Което е
[tex]-3 \le f(x_1)<f(x_2) \le 1[/tex]
Но, внимание! Нито [tex]\min_{x\in [0;1]}f(x)=-3[/tex], нито [tex]\max_{x\in [0;1]}f(x)=1[/tex].
Докато [tex]f(x_1)<f(x_2)[/tex] е вярно [tex]\forall x_2[/tex] и [tex]\forall x_1: 0\le x_1< x_2 \le 1[/tex], то двете крайни неравенства, макар и нестроги, са само оценки за [tex]\min_{x\in [0;1]}f(x)[/tex] и [tex]\max_{x\in [0;2]}f(x)[/tex] (стойностите на едното събираемо растат, а на другото - намаляват).
Т.е. имаме оценка [tex]\min_{x\in [0;1]}f(x)\ge-3[/tex], и [tex]\max_{x\in [0;1]}f(x)\le1[/tex].
Ето защо
[tex]\left\{\begin{matrix}
0\le x_1< x_2 \le 1\\
f(x_1) <f(x_2)
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left|\begin{matrix}
f(0)\le f(x_1) \\
f(x_2)\le f(1)
\end {matrix} \right.[/tex]
Дотук
[tex]\min_{x\in [0;1]}f(x)=-2=f(1)[/tex] и [tex]\max_{x\in [0;1]}f(x)=0=f(0)[/tex]
Втори случай.
Нека [tex]1 \le x_1< x_2 \le 2[/tex].
Писаниците и разсъжденията са абсолютно аналогични. Същественото е, че уцелваме интервал на монотонност на разглежданата функция.
___________
Като преподавател. Абсолютно мъченическо и вредно за 90% от учениците. За 4% от учениците - загуба на време, т.к те са на по-високо ниво и загубата на време от прилагането на по-несъвършени технологии, за тях е лична обида. Остават 6% , от които желаем поне 1 човек да включим сред 4 -те процента. Благородно! Но дали си заслужава усилията и ... заплатата. Ако съм в Царския Двор бих опитал .

[Гост]

Всеки път - различно. Но всеки път се прави изследване! Въпросът обаче е друг, предполагам. Иска се алгебрично изследване - без производна. Достъпното средство се нарича "монотонност".
[tex]f(x)=x^3−3x[/tex] в [tex][0;2][/tex]
Ще разгледаме два случая (защо два и защо точно тези - по-долу).
Нека [tex]0 \le x_1< x_2 \le 1[/tex] Оттук [tex]\Rightarrow 0 \le x^3_1<x^3_2 \le 1 \,\ (\ast )[/tex]
Още от същото [tex]0 \le x_1< x_2 \le 1 \Rightarrow -1 \le -x_2< - x_1 \le 0 \Rightarrow -3 \le -3 x_1< -3 x_2 \le 0 \,\ (\ast \ast)[/tex]
Събирайки почленно [tex](\ast )[/tex] и [tex](\ast \ast)[/tex]
получаваме
[tex]-3 \le x^3_1 -3 x_1< x^3_2-3 x_2 \le 1[/tex]
Което е
[tex]-3 \le f(x_1)<f(x_2) \le 1[/tex]
Но, внимание! Нито [tex]\min_{x\in [0;1]}f(x)=-3[/tex], нито [tex]\max_{x\in [0;1]}f(x)=1[/tex].
Докато [tex]f(x_1)<f(x_2)[/tex] е вярно [tex]\forall x_2[/tex] и [tex]\forall x_1: 0\le x_1< x_2 \le 1[/tex], то двете крайни неравенства, макар и нестроги, са само оценки за [tex]\min_{x\in [0;1]}f(x)[/tex] и [tex]\max_{x\in [0;2]}f(x)[/tex] (стойностите на едното събираемо растат, а на другото - намаляват).
Т.е. имаме оценка [tex]\min_{x\in [0;1]}f(x)\ge-3[/tex], и [tex]\max_{x\in [0;1]}f(x)\le1[/tex].
Ето защо
[tex]\left\{\begin{matrix}
0\le x_1< x_2 \le 1\\
f(x_1) <f(x_2)
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left|\begin{matrix}
f(0)\le f(x_1) \\
f(x_2)\le f(1)
\end {matrix} \right.[/tex]
Дотук
[tex]\min_{x\in [0;1]}f(x)=-2=f(1)[/tex] и [tex]\max_{x\in [0;1]}f(x)=0=f(0)[/tex]
Втори случай.
Нека [tex]1 \le x_1< x_2 \le 2[/tex].
Писаниците и разсъжденията са абсолютно аналогични. Същественото е, че уцелваме интервал на монотонност на разглежданата функция.
___________
Като преподавател. Абсолютно мъченическо и вредно за 90% от учениците. За 4% от учениците - загуба на време, т.к те са на по-високо ниво и загубата на време от прилагането на по-несъвършени технологии, за тях е лична обида. Остават 6% , от които желаем поне 1 човек да включим сред 4 -те процента. Благородно! Но дали си заслужава усилията и ... заплатата. Ако съм в Царския Двор бих опитал .

Много Ви благодаря за решението, но нещо не разбирам всичко, а сряда ще ми е една от задачите на класно. Монотонността на функцията чрез производна не може ли да се изчисли? Госпожата писа нещо подобно, но не разбрах точно метода

[Гост]

Отговорът е точно според въпроса.
Ако въпросът беше: намерете екстремумите...( без оглед на начина по който се получават),
то решението е
[tex]y'=3x^2-3[/tex]

[tex]y'<0 \Leftrightarrow x \in(-1;1) \,\ \Rightarrow[/tex] то функцията [tex]y[/tex] е намаляваща в интервала [tex](-1;1)[/tex]

[tex]y'=0 \Leftrightarrow x=-1 \cup x=1 \Rightarrow[/tex] то функцията [tex]y[/tex] има локални екстремуми в [tex]x=-1[/tex] и [tex]x=1[/tex]

[tex]y'>0 \Leftrightarrow x \in(-\infty;-1)\cup (1; +\infty) \,\ \Rightarrow y[/tex] [tex]\in(-1;1)[/tex] то функцията [tex]y[/tex] е растяща във всеки от интервалите [tex](-\infty;-1)[/tex] и [tex](1; +\infty).[/tex]
От всичко по-горе правим заключение: функцията [tex]y[/tex] има локален максимум при [tex]x=-1[/tex] и локален минимум за [tex]x=1[/tex].
Следва изчисляването на тези екстремуми.