обема на полученото ротационно тяло

[Гост]

Правоъгълен триъгълник с големина на един от острите си ъгли α и дължина h на височината към хипотенузата се върти около права, която минава през върха на правия ъгъл и е успоредна на хипотенузата. Намерете обема на полученото ротационно тяло.
При каква стойност на α обемът има най-малка стойност?
Благодаря предварително (:

[ptj]

Получава се цилиндър, от който трябва да се изрежат 2 конуса.
Цилиндъра е с височина равна на хипотенузата на триъгълника ([tex]h.tg\alpha+h.ctg\alpha)[/tex], а основата му е окръжност с радиус h.
Конусите са със същите основи (като на цилиндъра), а сумата от височините им е равна на хипотенузата на триъгълника.
Обема на полученото тяло е [tex]\frac{2}{3}\pi h^3(tg\alpha+ctg\alpha)[/tex], a неговия минимум очевидно е при [tex]\alpha=45^\circ[/tex].
Последното е следствие от неравенство между средно аритметично и средно геометрично:
[tex]\frac{tg\alpha+ctg\alpha}{2}\ge \sqrt{\frac{tg\alpha.ctg\alpha}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]