Произведение

[Гост]

На колко е равно произведението (1 - [tex]\frac{1}{p^{2}}[/tex]), p е от 1 до 200. Някакви насоки?

[ptj]

[tex]\prod_{p=1}^{200} {\bigg(1-\frac{1}{p^2}\bigg)}=\prod_{p=1}^{200} {\frac{(p-1)(p+1)}{p^2}}=0[/tex]

При [tex]p=1[/tex] първия множител е 0.

[pal702004]

Иначе $\prod_{k=2}^n \left(1-\frac {1}{k^2}\right)=\frac{n+1}{2n}$

Насоки - индукция

[Гост]

Иначе $\prod_{k=2}^n \left(1-\frac {1}{k^2}\right)=\frac{n+1}{2n}$

Насоки - индукция

Откъде дойде това? Можеш ли да го напишеш подробно

[ptj]

[tex]\bigg(1-\frac{1}{2^2}\bigg)=\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}=\frac{(2-1)(2+1)}{2^2}=\frac{3}{2^2}[/tex]


[tex]\bigg(1-\frac{1}{2^2}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{3^2}\bigg)=\left(\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}\right)\left(\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}\right)=\frac{(2-1)(2+1)}{2^2}\frac{(3-1)(3+1)}{3^2}=\frac{1.3.2.4}{2^2.3^2}=\frac{4}{2.3}[/tex]


[tex]\bigg(1-\frac{1}{2^2}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{3^2}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{4^2}\bigg)=\left(\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}\right)\left(\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}\right)\left(\frac{4^2}{4^2}-\frac{1}{4^2}\right)=[/tex]

[tex]=\frac{(2-1)(2+1)}{2^2}\frac{(3-1)(3+1)}{3^2}\frac{(4-1)(4+1)}{4^2}=\frac{1.3.2.4.3.5}{2^2.3^2.4^2}=\frac{5}{2.4}[/tex]

...

[tex]\prod_{k=2}^n \left(1-\frac {1}{k^2}\right)=\prod_{k=2}^n \left(\frac{k^2}{k^2}-\frac {1}{k^2}\right)=\prod_{k=2}^n \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=[/tex]

[tex]=\frac{1.3.2.4.3.5.4.6...(n-4)(n-2)(n-3)(n-1)(n-2)n(n-1)(n+1)}{2^2.3^2.4^2.5^2...(n-3)^2(n-2)^2.(n-1)^2.n^2}=\frac{n+1}{2n}[/tex]

[Гост]

[tex]\prod_{k=2}^n \left(1-\frac {1}{k^2}\right)=\prod_{k=2}^n \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\prod_2^n\frac {k-1}{k}\prod_2^n\frac{k+1}{k}=\frac{1}{2}\prod_3^n\frac {k-1}{k}\times\frac{n+1}{n}\prod_3^n\frac{k}{k-1}=\frac{n+1}{2n}[/tex]

[Гост]

[tex]\prod_{k=2}^n \left(1-\frac {1}{k^2}\right)=\prod_{k=2}^n \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\prod_2^n\frac {k-1}{k}\prod_2^n\frac{k+1}{k}=\frac{1}{2}\prod_3^n\frac {k-1}{k}\times\frac{n+1}{n}\prod_3^n\frac{k}{k-1}=\frac{n+1}{2n}[/tex]

[Гост]

А ако n е безкрайност, отговорът 1/2 ли е?

П.С Как правите знака за произведение?

[Knowledge Greedy]

А ако n е безкрайност, отговорът 1/2 ли е?
П.С Как правите знака за произведение?

Първото е наивен въпрос, съдържащ отговора

По п.с. - пишем \prod и го заграждаме с [тех] и [\тех]

А ако искаме и граници
\prod_{k=1}^{\infty } и го заграждаме с [тех] и [\тех]

Ето [tex]\prod_{k=1}^{\infty }[/tex] . След това пишем каквото се налага.