Ирационално уравнение

[Гост]

Zada4a.jpg (9.34 KiB) Прегледано 203 пъти

[pal702004]

$(\sqrt x+\sqrt{x+9})^2+(\sqrt x+\sqrt{x+9})=72$

[Гост]

Не разбрах, как стигна до това уравнение.

[Knowledge Greedy]

Под третия корен имаш [tex]x^2+9x[/tex].
Представяш го като
[tex]x^2+9x=x(x+9)[/tex] - множителите са като подкоренните величини в първите два корена.
Дотук
[tex]\sqrt{x}+\sqrt{x+9}+2\sqrt{x}\sqrt{x+9}=63-2x[/tex]

[tex]-2x[/tex], което е отдясно - прехвърляш отляво.
[tex]2x+ \sqrt{x}+\sqrt{x+9}+2\sqrt{x}\sqrt{x+9}=63[/tex] - добавяш 9 -ка към двете страни

[tex]2x+9+ \sqrt{x}+\sqrt{x+9}+2\sqrt{x}\sqrt{x+9}=63+9[/tex]

[tex]x+(x+9)+ \sqrt{x}+\sqrt{x+9}+2\sqrt{x}\sqrt{x+9}=72[/tex]
Представяме първите две събираеми като квадрати - заради формулата
[tex]\left ( \sqrt{x} \right )^2+ \left ( \sqrt{x+9} \right )^2+\sqrt{x}+\sqrt{x+9}+2\sqrt{x}\sqrt{x+9}=72[/tex]

[tex]\left ( \sqrt{x} \right )^2+ 2\sqrt{x}\sqrt{x+9}+\left ( \sqrt{x+9} \right )^2+\sqrt{x}+\sqrt{x+9}=72[/tex]
първите три събираеми - формулата за разширено представяне на сбор на квадрат

[tex]\left ( \sqrt{x} +\sqrt{x+9}\right )^2+\sqrt{x}+\sqrt{x+9}=72[/tex]
Изглежда малко дълго, но когато знаеш идеята - да направиш полагане - си готов за това.
___________
Ако това описание ти се стори трудно - виж същата идея, но с две неизвестни.
Полагаме [tex]\sqrt{x}=y[/tex] и [tex]\sqrt{x+9}=z[/tex]
Следователно
[tex]x=y^2[/tex] и [tex]x+9=z^2[/tex]
Самото уравнение ще изглежда така [tex]y+z+2yz=69-2x[/tex]
На практика се получи системата
[tex]\begin{array}{|l} x =y^2 \\x+9 = z^2 \\ y+z+2yz=69-2x \end{array}[/tex]

От първите две уравнения изразяваме [tex]2x+9=y^2+z^2 \,\ \Rightarrow \,\ 2x=y^2+z^2-9[/tex]
и заместваме в третото
[tex]y+z+2yz=72-(y^2+z^2)[/tex]
равносилно на
[tex](y+z)^2+y+z-72=0[/tex]
И като положим (последно!)[tex]y+z=u[/tex], стигаме до квадратното [tex]u^2+u-72=0[/tex] - с корени [tex]u_1=-9[/tex] и [tex]u_2=8[/tex], и нещата се разплитат.
____________
Решавайки уравнения като това, разбира се не пропускаш и условия за дефиниционното множество - допустимите стойности на неизвестното.