Да се докажат равенствата

[Гост]

([tex]\frac{2}{\sqrt{3}-1}[/tex] + [tex]\frac{3}{\sqrt{3}-2}[/tex] + [tex]\frac{15}{3-\sqrt{3}}[/tex])[tex](5+\sqrt{3})^{-1}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex]
Мисля че има някаква цака, защото с пресмятания не се получава. Благодаря

[Гост]

([tex]\frac{2}{\sqrt{3}-1}[/tex] + [tex]\frac{3}{\sqrt{3}-2}[/tex] + [tex]\frac{15}{3-\sqrt{3}}[/tex])[tex](5+\sqrt{3})^{-1}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex]
Мисля че има някаква цака, защото с пресмятания не се получава. Благодаря

Това е задачата

[Knowledge Greedy]

За да не прилагаме специални "цаки", да реционализираме всяка от дробите (самото рационализиране си е "цака")
[tex]\left ( \frac{2}{\sqrt{3}-1}+\frac{3}{\sqrt{3}-2}+\frac{15}{3-\sqrt{3}} \right )\left ( 5+\sqrt{3} \right )^{-1}=[/tex]

[tex]=\left ( \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}+\frac{3(\sqrt{3}+2)}{3-4}+\frac{15(3+\sqrt{3})}{9-3} \right ) \frac{1}{5+\sqrt{3}}=[/tex]

[tex]=\left [ \sqrt{3}+1)-3(\sqrt{3}+2)+\frac{5(3+\sqrt{3})}{2} \right ]\frac{5-\sqrt{3}}{(5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3})}=[/tex]

[tex]=\left (-5-2 \sqrt{3}+\frac{15+5\sqrt{3})}{2} \right )\frac{5-\sqrt{3}}{22}=[/tex]

[tex]=\frac{-10-4 \sqrt{3}+15+5\sqrt{3})}{2} .\frac{5-\sqrt{3}}{22}=[/tex]

[tex]=\frac{5+\sqrt{3}}{2} .\frac{5-\sqrt{3}}{22}[/tex]
(Вижда се , че последната можеше да не бъде рационализирана)

[tex]=\frac{25-3}{2.22}=\frac{1}{2}[/tex]