Най-голяма дължина на отсечка

[Гост]

Даден е триъгълник ABC с периметър 2p. Правата l,която е успоредна на AB и се допира до вписаната в него окръжност,пресича AC и BC съответно в точките M и N. Намерете възможно най-голямата дължина на отсечката MN.
-Отговор:[tex]\frac{p}{4}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Приемаме означенията както са на чертежа по-долу. Освен това дължината [tex]AB=c[/tex].
(И най-важното - предполагаме, че читателят е добре запознат с условието на задачата!)

Допирателна MN към вписана.png (3.63 KiB) Прегледано 581 пъти

Явно [tex]\Delta MNC \sim \Delta ABC[/tex].
Нека [tex]k[/tex] e коефициентът им на подобие. Едно изразяване на [tex]k=\frac{MN}{AB}=\frac{MN}{c}[/tex]

Знаем, че [tex]CQ=CP=p-c[/tex].
Понеже [tex]CQ=p-c[/tex], а [tex]MT=MQ[/tex], то [tex]CM+MT=p-c[/tex]
Понеже [tex]CP=p-c[/tex], а [tex]NT=NP[/tex], то [tex]CN+NT=p-c[/tex]
Следователно периметърът
[tex]P_{\Delta MNC}=2(p-c)[/tex]
Второ изразяване на коефициента на подобие [tex]k=\frac{P_{\Delta MNC}}{P_{\Delta ABC}}=\frac{2(p-c)}{2p}=\frac{p-c}{p}[/tex]
От двете изразявания имаме [tex]\frac{MN}{c}=\frac{p-c}{p}[/tex]
което води до изследване на [tex]MN[/tex] като квадратна функция на страната [tex]c[/tex].
[tex]MN=-\frac{1}{p}c^2+c = \,\ -\frac{1}{p}\left ( c-\frac{p}{2} \right )^2+\frac{p}{4} \le \frac{p}{4}[/tex]

Последното означава, че най-голямата стойност на отсечката [tex]MN[/tex] е [tex]\frac{p}{4}[/tex] и тя се достига при дължина на основата [tex]c=\frac{p}{2}[/tex].
____________
Интересен е фактът, че при това за останалите страни няма други условия - примерно триъгълникът да е равнобедрен.