Сфера

[Гост]

1. Две сфери с равни радиуси се пресичат така, че радиусите им в коя да е обща точка са перпендикулярни. Докажете, че дължината на централата е равна на диаметъра на окръжността, по която сферите се пресичат.
2. На маса са поставени четири еднакви сфери с радиус R, всяка от които се допира до две от останалите три. Отгоре, във вдлъбнатината, образувана от тези сфери, е поставена пета сфера със същия радиус. Намерете разстоянието от най-горната точка на петата сфера до равнината на масата.
Ще бъда много благодарна, ако някой успее да ми помогне

[Knowledge Greedy]

1.

Двете взаимноперпендикулярни сфери.png (7.87 KiB) Прегледано 223 пъти

Радиусът [tex]r[/tex] на общата окръжност на двете сфери съвпада с височината [tex]CD[/tex] на правоъгълния триъгълник [tex]\Delta ABC[/tex] с върхове центровете [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] на двете дадени сфери и връх [tex]C[/tex] - в който се срещат радиусите им [tex]AC=R_1[/tex] и [tex]BC=R_2[/tex].
Следователно [tex]r=\frac{R_1R_2}{\sqrt{R_1^2+R_2^2}}[/tex] - примерно чрез лицето на [tex]\Delta ABC[/tex] - по два начина.

2. За чертеж на тази задача ще използваме къщичка от радиусите на петте сфери.

Петте сфери на масата.png (3.98 KiB) Прегледано 223 пъти

Самата къщичка представлява правоъгълен паралелепипед и разположена върху него правилна четириъгълна пирамида. За основа тя има квадрат със страна [tex]2R[/tex]. Височината и е [tex]R[/tex]. Над тавана започва покривът с форма на правилна четириъгълна пирамида, с основа квадрат със страна [tex]2R[/tex] и околни ръбове също по [tex]2R[/tex]. От върха - центърът на петата сфера, издигаме гръмоотвод с дължина [tex]R[/tex], който достига до най-високата точка на петата сфера до масата. Отговорът на задачата е сборът от дължината [tex]R[/tex] на гръмоотвода, височината [tex]h[/tex] на пирамидата плюс [tex]R[/tex] - височината на паралелепипеда.
Отг. [tex](2+\sqrt{2})R[/tex]
_________
Черните точки са центровете на петте сфери, зелените точки са допирните им (за тези сфери, които се допират помежду си), червените са допирните на първите четири сфери с масата, а синият радиус е "гръмоотводът" на покрива - разстоянието от най-високата точка на петата сфера над масата до центъра на петата сфера.