графика на функция

[Гост]

Да се начертае графика на функцията

[tex]\frac{x+3}{\sqrt{1+x^2}}[/tex]

Някои може ли да ми обясни подробно как се чертае графика и как да разбера дали има асимптоти?

[Knowledge Greedy]

[tex]f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{1+x^2}}[/tex]
ДМ:[tex](- \infty ; +\infty)[/tex]
Има две хоризонтални асимптоти, защото [tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{x+3}{\sqrt{1+x^2}}=1[/tex]
и [tex]\lim_{x \to -\infty}\frac{x+3}{\sqrt{1+x^2}}=-1[/tex]
Асимптотите са с уравнения [tex]y=1[/tex] и [tex]y=-1[/tex]
Вертикални и наклонени асимптоти няма.
Екстремуми.
[tex]f'(x)=\frac{\sqrt{1+x^2}-(x+3)\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{1-3x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}[/tex]
[tex]f'(x)>0 \,\ \Leftrightarrow \,\ x\in \left ( -\infty; \frac{1}{3} \right )[/tex] тук функцията е растяща
[tex]f'(x)=0 \,\ \Leftrightarrow \,\ x= \frac{1}{3}[/tex] - в тази точка има локален максимум [tex]f \left ( \frac{1}{3} \right )=\sqrt{10}[/tex]
[tex]f'(x)<0 \,\ \Leftrightarrow \,\ x\in \left (\frac{1}{3} ; \infty \right )[/tex] - тук функцията е намаляваща

С всички тези данни, както и с някои допълнителни точки - например при [tex]x=0[/tex] или(и) [tex]x=-3[/tex], както и резултатите от изследването на втората производна за изпъкналост и инфлексия, разположени в таблица, правим графиката.

Дробна ирационална с две хоризонтални асимптоти.png (7.03 KiB) Прегледано 371 пъти

Погледнато по-отдалече

Дробна ирационална с две хоризонтални асимптоти 2.png (5.38 KiB) Прегледано 371 пъти

[Гост]

Благодаря за решението.
Имам някои въпроси.
Въпрос 1: хубаво ли е да се определи четността? (в този случай е нито четна, нито нечетна, нали?)
Въпрос 2: Чета точка "Знак на f(х). Как да направя това и как ще ми послужи?
Въпрос 3 : В случая нямаме вертикални асимптоти, защото интервалът не е прекъснат, правилно ли съм разбрал?
Може ли да обясниш как се изследва за наклонена асимптота?

Въпрос 4: Гледам точка "Знак на f''(х)", в които трябва да се определят интервалите на вдълбнатост изпъкналост на функцията. Желателно е да се знаят допирателните отляво и отдясно. Защо изпукаме тази точка в случая и как би изглеждала тя?