комбинации от ротационни тела

[Гост]

Имам две задачки, ще ви помоля за помощ:
1.Около прав кръгов конус е описано кълбо, лицето на големия кръг на което е S. В конуса е вписано друго кълбо. Намерете обемите на описаното и вписаното кълбо и на конуса, ако се знае, че образуващата на конуса е наклонена към основата му под ъгъл [tex]\alpha[/tex].

2.В прав кръгов конус е вписана сфера с лице на повърхнината два пъти по-малко от лицето на пълната повърхнина на конуса. Намерете отношението на обемите на двете тела.
Благодаря, предварително.

[Anubis]

Зад. 2. Нека [tex]O[/tex] е центърът на основата на конуса, [tex]O_{1}[/tex] е центърът на вписаното кълбо, [tex]C[/tex] е върхът на конуса и [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] са точки от основата на конуса, такива, че [tex]AB[/tex] е диаметър. Сечението на конуса с равнината, минаваща през отсечката [tex]AB[/tex] и оста на конуса, е равнобедреният триъгълник [tex]ABC[/tex], а сечението на сферата със същата равнина е вписаната в [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност.
Означаваме радиуса на конуса с [tex]R[/tex], т. е. [tex]AO=BO=R[/tex], радиуса на кълбото с [tex]r[/tex], т. е. [tex]OO_{1}=r[/tex], и [tex]CO_{1}=x[/tex]. Имаме
[tex]\Delta AOC \sim \Delta O_{1}MC \Rightarrow \frac{AO}{O_{1}M}=\frac{OC}{MC}=\frac{AC}{O_{1}C} \Rightarrow \frac{R}{r}=\frac{r+x}{MC}=\frac{AC}{x} \Rightarrow MC=\frac{r(r+x)}{R}, \, AC=\frac{Rx}{r}[/tex].
Но [tex]AC=AM+MC=R+\frac{r(r+x)}{R} \Rightarrow R+\frac{r(r+x)}{R}=\frac{Rx}{r} \Rightarrow x=\frac{r(R^2+r^2)}{R^2-r^2}[/tex].
Пресмятаме [tex]AC=l=\frac{R(R^2+r^2)}{R^2-r^2}[/tex].
1. Повърхнина на конуса
Повърхнината на конуса се пресмята по формулата [tex]S_{\operatorname{cone}} = \pi R (R+l)[/tex], откъдето [tex]S_{\operatorname{cone}} = \pi R^2 \cdot \frac{2R^2}{R^2-r^2}[/tex].
2. Повърхнина на сферата
Повърхнината на сферата е [tex]S_{\operatorname{sphere}} = 4 \pi r^2[/tex].
3. Даденото условие
Използваме, че по условие [tex]\frac{S_{\operatorname{cone}}}{S_{\operatorname{sphere}}}=2[/tex]:
[tex]\frac{R^2 \cdot R^2}{R^2-r^2}=4r^2 \Rightarrow \frac{R^2}{R^2-r^2}=4\frac{r^2}{R^2} \Rightarrow \frac{1}{1 - \left ( \frac{r}{R} \right )^2} = 4 \left ( \frac{r}{R} \right )^2 \Rightarrow \frac{r}{R}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow R=r\sqrt{2}[/tex].
Тогава [tex]x=3r, \, CO=h=x+r=4r[/tex] и [tex]\frac{V_{\operatorname{cone}}}{V_{\operatorname{ball}}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot R^2 \cdot h}{\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3}=2[/tex].

[Гост]

Благодаря много, а с първата някой да ми помогне

[KOPMOPAH]

Сфери и конус.jpg (17.14 KiB) Прегледано 981 пъти

Радиусът на описаната сфера е [tex]R=\sqrt{\frac{S}{\pi}}[/tex].
Образуващата на конуса се получава от косинусова теорема [tex]l^{2}=2R^{2}-2R^{2}cos2\alpha[/tex], след преобразуване и заместване [tex]l=\sqrt{\frac{2S}{\pi}}sin\alpha[/tex].
Радиусът на основата на конуса [tex]R_{k }=l.cos\alpha=\sqrt{\frac{2S}{\pi}}sin\alpha.cos\alpha[/tex]
Височината на конуса е [tex]h=lsin\alpha=\sqrt{\frac{2S}{\pi}}sin\alpha.sin\alpha=\sqrt{\frac{2S}{\pi}}sin^{2}\alpha[/tex]
Радиусът на вписаната сфера се получава от [tex]\frac{r}{R_{k }}=tg\frac{\alpha}{2}\Rightarrow r=R_{k }tg\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{2S}{\pi}}sin\alpha.cos\alpha.tg\frac{\alpha}{2}[/tex]
Обемът на описаната сфера е [tex]V_{1 }=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi ({\sqrt{\frac{S}{\pi}})^3}=\frac{4S}{3}\sqrt{\frac{S}{\pi}}[/tex]
Обемът на конуса е [tex]V_{2 }=\frac{1}{3}\pi R_{k }^{2}h=\frac{1}{3}\pi (\sqrt{\frac{2S}{\pi}}sin\alpha.cos\alpha)^{2}\sqrt{\frac{2S}{\pi}}sin^{2}\alpha= \frac{2S}{3}\sqrt{\frac{2S}{\pi}}sin^{4}\alpha.cos^{2}\alpha[/tex]
Обемът на вписаната сфера е [tex]V_{3 }=\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi (\sqrt{\frac{2S}{\pi}}sin\alpha.cos\alpha.tg\frac{\alpha}{2})^{3}=\frac{8S}{3}\sqrt{\frac{2S}{\pi}sin^{3}} \alpha .cos^{3} \alpha. tg^{3}\frac{\alpha}{2}[/tex]