В конус е вписана сфера

[Гост]

В конус е вписана сфера, лицето на повърхнината на която е равно на лицето на основата на конуса. Намерете отношението, в което околната повърхнина на конуса се дели от окръжността на допирането му със сферата

Помагайте

[Anubis]

[tex]\frac{1}{9}[/tex]?

[Гост]

[tex]\frac{1}{9}[/tex]?

4:21 е отговора

[Гост]

В конус е вписана сфера, лицето на повърхнината на която е равно на лицето на основата на конуса. Намерете отношението, в което околната повърхнина на конуса се дели от окръжността на допирането му със сферата

Помагайте

Ако някой може поне да ме насочи, че не мога да разбера кое отношение точно се търси

[KOPMOPAH]

Сферата се допира до конуса в една окръжност и изглежда горе-долу така.
Разглеждаме сечението [tex]ABC[/tex]. От Питагорова теорема имаме [tex]CP=\sqrt{a^{2}-r^{2}}[/tex]
По условие лицето на повърхнината на сферата е равно на лицето на основата, т.е. [tex]4\pi r^{2}=\pi R^{2}[/tex], откъдето следва
[tex]R=2r[/tex]. За [tex]\Delta BCD[/tex] прилагаме Питагорова теорема [tex](a+r)^{2}+(2r)^{2}=(2r+\sqrt{a^{2}-r^{2}})^{2}[/tex], откъдето след преобразуване стигаме до уравнението [tex]3a^{2}-2ar-5r^{2}=0[/tex]. Като се реши - получаваме [tex]a=\frac{5}{3}r[/tex], a от тук [tex]CP=\frac{4}{3}r[/tex], [tex]BC=\frac{10}{3}r[/tex]. Получава се, че образувателните на малкия и големия конус се отнасят както 4:10.
Известно е, че повърхнините на подобните елементи се отнасят както квадратите на някой техен линеен елемент, т.е. околната повърхнина на малкия конус се отнася към околната повърхнина на големия както 16:100 което е 4:25. Окончателно - ако околната повърхнина на големият конус е 25 единици, а на малкия - 4 единици, окръжността на допиране дели голямата околна повърхнина в отношение 4:21.