Куб и три кълба

[Гост]

Помощ с две задачи:
1. Дадени са куб и три кълба, първото от които е описано около кълбо, второто се допира до ръбовете му, а третото е вписано в него. Намерете отношението между обемите на кълбата.
Тук ако може да ми помогнете с чертежа, как кълбото се допира до ръбовете му?

2. Дадени са три еднакви сфери с радиус R, които се допират две по две. Намерете радиуса на сферата, която се допира до дадените сфери и до една от общите им допирателни равнини.
Ако може и тук чертеж

[KOPMOPAH]

1. задача
За да си представиш как се допира кълбото до ръбовете на куба, представи си, че този куб е от тел, а кълбото е един балон, който се надува и в един момент ще се опре до средите на всички ръбове на куба (строго погледнато - трябва да се докаже, че се допира именно в средите, но няма да се задълбочаваме).
Сечението на този куб с равнина, минаваща през допирните точки на ръбовете и центъра на куба (който е и център на всичките сфери от задачата) представлява квадрат с вписана окръжност (което е сечението с вписаната сфера) и описана окръжност (което е сечението със сферата, допираща се до ръбовете).
Ако приемем страната на куба за [tex]1[/tex], радиусът на вписаната сфера ще е [tex]\frac{1}{2}[/tex], радиусът на допиращата се до ръбовете ще е [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] и радиусът на описаната - [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].
Нататък е ясно - формулата за обем на сфера е известна.

[KOPMOPAH]

Три сфери-1.jpg (16.51 KiB) Прегледано 505 пъти

Трите големи сфери се допират до равнината в три точки, които са върхове на равностранен триъгълник със страна [tex]2R[/tex]
С пунктирана линия е начертана малката сфера. Тя се допира в центъра на този равностранен триъгълник.
Ако прекараме сечение, което минава през центъра на една от големите сфери и малката, ще се получи следното:

Голяма и малка.jpg (9.56 KiB) Прегледано 505 пъти

В правоъгълния трапец [tex]AB=\frac{2\sqrt{3}}{3}R=DE[/tex] (разстояние от върха на равностранния триъгълник до центъра му)
Прилагаме Питагорова теорема за [tex]\Delta DEC[/tex]
[tex](R+r)^{2}=(R-r)^{2}+\frac{4}{3}R^{2}[/tex],
откъдето след преобразуване получаваме [tex]r=\frac{R}{3}[/tex]

[Гост]

1. задача
За да си представиш как се допира кълбото до ръбовете на куба, представи си, че този куб е от тел, а кълбото е един балон, който се надува и в един момент ще се опре до средите на всички ръбове на куба (строго погледнато - трябва да се докаже, че се допира именно в средите, но няма да се задълбочаваме).
Сечението на този куб с равнина, минаваща през допирните точки на ръбовете и центъра на куба (който е и център на всичките сфери от задачата) представлява квадрат с вписана окръжност (което е сечението с вписаната сфера) и описана окръжност (което е сечението със сферата, допираща се до ръбовете).
Ако приемем страната на куба за [tex]1[/tex], радиусът на вписаната сфера ще е [tex]\frac{1}{2}[/tex], радиусът на допиращата се до ръбовете ще е [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] и радиусът на описаната - [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].
Нататък е ясно - формулата за обем на сфера е известна.

Благодаря много, за тази задача може ли да се направи чертеж?

[Knowledge Greedy]

Ето полурисунка, получертеж.

Допираща се до ръбовете на куб сфера.png (12.2 KiB) Прегледано 496 пъти

[Гост]

Три сфери-1.jpg

Трите големи сфери се допират до равнината в три точки, които са върхове на равностранен триъгълник със страна [tex]2R[/tex]
С пунктирана линия е начертана малката сфера. Тя се допира в центъра на този равностранен триъгълник.
Ако прекараме сечение, което минава през центъра на една от големите сфери и малката, ще се получи следното:

Голяма и малка.jpg

В правоъгълния трапец [tex]AB=\frac{2\sqrt{3}}{3}R=DE[/tex] (разстояние от върха на равностранния триъгълник до центъра му)
Прилагаме Питагорова теорема за [tex]\Delta DEC[/tex]
[tex](R+r)^{2}=(R-r)^{2}+\frac{4}{3}R^{2}[/tex],
откъдето след преобразуване получаваме [tex]r=\frac{R}{3}[/tex]

А по упътване имам да разгледам триъгълна пирамида, по този начин как ще се реши