Крива и тангента

[Гост]

Спрямо координатна система [tex]К = {Oe_1e_2}[/tex] са дадени кривата от втора степен
К: [tex]4x^2 - 4xy + y^2 +6xt +t^2 = 0[/tex] и првата
[tex]g: \lambda x - y = 0[/tex]. Правата е допирателна към К, ако [tex]\lambda = ?[/tex]

[Knowledge Greedy]

"Детски" начин.
Правата допирателна (тангентата) има [tex]1[/tex] обща точка с кривата.
Следователно системата [tex]\begin{array}{|l} 4x^2−4xy+y^2+6xt+t^2=0 \\ \lambda x - y = 0 \end{array}[/tex] трябва да има единствено решение.
Заместваме от второто уравнение [tex]y = \lambda x[/tex] в първото
[tex](2x-y)^2−6xt+t^2=0 \,\ \Leftrightarrow \,\ (2x- \lambda x)^2−6xt+t^2=0[/tex],
след което изследваме уравнението
[tex](\lambda -2)^2x^2−6xt+t^2=0[/tex]
1.) При [tex]\lambda =2[/tex] то не е квадратно, но има [tex]1[/tex] реален корен [tex]x=-\frac{t}{6}[/tex]
Следователно правата [tex]g[/tex] е допирателна към кривата [tex]K[/tex] в точката [tex]T\left (-\frac{t}{6};-\frac{t}{3} \right )[/tex]
2.) При [tex]\lambda \ne2[/tex] уравнението е квадратно, с [tex]D=0[/tex] равносилно на [tex](3t)^2-(\lambda -2)^2t^2=0[/tex], което дава [tex]\lambda =5[/tex] и[tex]\lambda =-1[/tex] .
В първия случай [tex]\lambda =5[/tex] правата [tex]g[/tex] е допирателна към кривата [tex]K[/tex] и допирната точка е [tex]T\left (-\frac{t}{3};- \frac{5t}{3} \right )[/tex], а във втория случай - когато [tex]\lambda =-1[/tex] правата [tex]g[/tex] е допирателна към кривата [tex]K[/tex] в точка [tex]T\left (\frac{t}{3}; \frac{5t}{3} \right )[/tex].
Отговор:[tex]\lambda =-1; \,\ \lambda =2; \,\ \lambda =5[/tex]