Тригонометрия

[Гост]

Да се намерят всички цели стойности на реалния параметър а, за който уравнението 3[tex]sin^{2}[/tex]x + 5sin2x =a има решение.
Какъв е начинът за решаване

[Добромир Глухаров]

Намираме областта от стойности на функцията $f(x)=3sin^2x+5sin2x$

$f(x)=\frac{3}{2}(1-cos2x)+5sin2x=1,5+5sin2x-1,5cos2x=1,5+\sqrt{5^2+1,5^2}\left(\frac{5}{\sqrt{5^2+1,5^2}}sin2x-\frac{1,5}{\sqrt{5^2+1,5^2}}cos2x\right)=1,5+\sqrt{5^2+1,5^2}\left(cos\alpha sin2x-sin\alpha cos2x\right)=1,5+\sqrt{5^2+1,5^2}sin(2x-\alpha)$

$1,5-\sqrt{5^2+1,5^2}\le f(x)\le 1,5+\sqrt{5^2+1,5^2}$

$1,5-\sqrt{27,25}\le f(x)\le 1,5+\sqrt{27,25}$

$\sqrt{27,25}<\sqrt{28,09}=5,3$

$-3,8<f(x)<6,8$

Целите стойности са $-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6\to 10$ на брой.

[Anubis]

Като използваме, че [tex]\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}[/tex], след преобразуване достигаме до уравнението [tex]10 \sin 2x - 3 \cos 2x = 2a-3[/tex].

Разделяме двете му страни с числото [tex]\sqrt{10^2+3^2}=\sqrt{109}[/tex] и получаваме

[tex]\frac{10 \sin 2x}{\sqrt{109}} - \frac{3 \cos 2x}{\sqrt{109}} = \frac{2a-3}{\sqrt{109}}[/tex].

Понеже [tex]\left ( \frac{10}{\sqrt{109}} \right )^2 + \left ( \frac{3}{\sqrt{109}} \right )^2=1[/tex] и [tex]\frac{10}{\sqrt{109}}<1, \, \frac{3}{\sqrt{109}}<1[/tex], то можем да интерпретираме тези числа като синус и косинус

на ъгъл [tex]\varphi[/tex]: [tex]\cos \varphi = \frac{10}{\sqrt{109}}, \, \sin \varphi = \frac{3}{\sqrt{109}}[/tex]. Тогава

[tex]\sin (2x-\varphi) = \frac{2a-3}{\sqrt{109}} \Rightarrow -1 \le \frac{2a-3}{\sqrt{109}} \le 1 \Rightarrow a \in \left [ \frac{3-\sqrt{109}}{2}; \, \frac{3+\sqrt{109}}{2} \right ][/tex].

Остава да преброиш целите стойности в този интервал.

[Knowledge Greedy]

Без да се правим на педанти, необходимите условия трябва да се подкрепят от някой знак " [tex]\Leftrightarrow[/tex]"