Триъгълна пирамида с основа правоъгълен триъгълник

[Гост]

Здравейте!
Бихте ли ми помогнали с чертеж и решение на следната задача:
Основата на триъгълна пирамида е правоъгълен триъгълник с хипотенуза c и остър ъгъл alfa. Околните стени сключват с основата ъгъл фи. Намерете лицето на повърхнината на вписаната сфера.

Ако пирамидата е ABCM, то [tex]\angleА=\alpha[/tex], [tex]\angle ACM=\angle BCM=\varphi[/tex]. Правилно ли съм разбрал условието?
А къде е центъра на сферата?

[KOPMOPAH]

Не си разбрал правилно условието. Казано е, че

Околните стени сключват с основата ъгъл [tex]\varphi[/tex]

т. е. височините на околните стени (триъгълниците [tex]\Delta ABM[/tex], [tex]\Delta BCM[/tex] и [tex]\Delta ACM[/tex]) сключват ъгъл [tex]\varphi[/tex] с основата.
Страните на основата са [tex]c[/tex], [tex]c.sin\alpha[/tex] и [tex]c.cos\alpha[/tex]. Лицето на основата е [tex]B=\frac{c^{2}.sin\alpha. cos\alpha}{2}[/tex]. От друга страна лицето на основата е произведението на полупериметъра и радиуса на вписаната окръжност[tex]B=p.r=\frac{c+c.sin\alpha+c.cos\alpha}{2}r[/tex].
Като приравним двата израза за лицето на основата, се получава:
[tex]r=\frac{c.sin\alpha. cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}[/tex]
Вероятно се чудиш защо е всичко това
Работата е там, че върхът [tex]M[/tex] се проектира в центъра на вписаната окръжност, а височините [tex]a[/tex] на околните страни - в радиусите [tex]r[/tex], следователно [tex]a=\frac{r}{cos\varphi}[/tex].
Височината на пирамидата е [tex]h=r.tg\varphi[/tex].
Обемът на пирамидата е [tex]V=\frac{B.h}{3}[/tex], а също и [tex]V=\frac{S_{1 }.r_{1 }}{3}[/tex], където [tex]S_{1 }[/tex] е повърхнината на пирамидата (която можем да намерим, т.к. имаме всички данни), а [tex]r_{1 }[/tex] е радиусът на вписаната сфера.
От приравняването на двата израза за обема намираме [tex]r_{1 }[/tex], а оттам и търсената повърхнина на сферата.
Малко дълго стана, ама дано е ясно. Центърът на сферата не ти трябва