Пирамида, вписана в конус

[Гост]

Някакви съвети как да подкарам следната задача?
Правилна триъгълна пирамида с околен ръб [tex]\sqrt{7}[/tex] см и двустенен ъгъл при основата 60 е вписана в конус така, че околните ръбове на пирамидата са образуващи на конуса. Намерете обема на конуса.

[Добромир Глухаров]

Върхът на пирамидата се проектира в центъра на основата. $O$ - медицентър на $\Delta ABC$

Пирамида, вписана в конус.png (20.16 KiB) Прегледано 453 пъти

От свойство на медицентър $CO=2.OC_1$

$\Delta COM$ - правоъгълен - Питагорова теорема: $MO^2+OC^2=MC^2\Rightarrow H^2+R^2=(\sqrt{7})^2\Rightarrow H^2=7-R^2\ (1)$

$\Delta MC_1O$ - правоъгълен $\Rightarrow\frac{MO}{C_1O}=tg60^\circ=\sqrt{3}\Rightarrow H=\sqrt{3}C_1O;\ C_1O=\frac{CO}{2}=\frac{R}{2}\Rightarrow H=\frac{R\sqrt{3}}{2}\ (2)$

Заместваме $(2)$ в $(1)$ $\Rightarrow \frac{3}{4}R^2=7-R^2\Rightarrow \frac{7}{4}R^2=7\Rightarrow R^2=4\Rightarrow R=2\Rightarrow$ (от $(2)$) $H=\sqrt{3}$

$V_{конуса}=\frac{\pi}{3}R^2H=\frac{\pi}{3}\cdot 4\cdot\sqrt{3}=\frac{4\pi\sqrt{3}}{3}$