Цилиндър

[lolita133]

Правоъгълен триъгълник с катети 12 и 16 см се върти около права минаваща през върха на правия ъгъл и е успоредна на хипотенузата. Намерете обена на полученото тяло.

[KOPMOPAH]

Хипотенузата на този триъгълник се намира по Питагорова теорема и е равна на 20.

Ротационното тяло, чийто обем се търси, е цилиндър, от който са изрязани два конуса с образувателни съответно 12 и 16. Радиусът на цилиндъра и конусите е височината към хипотенузата на правоъгълния триъгълник. Изразяваш лицето на триъгълника чрез катетите и като полупроизведение на хипотенузата и височината към нея. От тук намираш радиуса на тялото. Формулите за обем на цилиндър и конус са ти познати, надявам се

[mail_dinko]

Oт триъгълника намираме височината на триъгълника (радиус на цилиндъра). Първо намираме хипотенузата по питагоровата теорема
[tex]a^2+b^2=c^2 \rightarrow c= \sqrt {a^2+b^2} = \sqrt {144+256} =\sqrt {400} \Rightarrow \fbox {c=20}[/tex] - височина на цилиндъра
[tex]\frac {ab}{\cancel{2}}=\frac {c h _ {c}}{\cancel{2}} \rightarrow h _{c}= \frac {ab}{c}=\frac {48}{5} \rightarrow \fbox {r =\frac {48}{5}}[/tex]
За единия конус с образувателна 12: намираме височината по питагоровата теорема
[tex]h_1 ^2 +r^2 =12^2 \Leftrightarrow h_1 ^2 = 144-(\frac {48}{5})^2= \frac {144.25-48^2}{25}\rightarrow \fbox {h_1 = \frac{36}{5}}[/tex]
За другия конус с образувателна 16: намираме височината по питагоровата теорема
[tex]h_2 ^2 +r^2 =16^2 \Leftrightarrow h_2 ^2 = 256-(\frac {48}{5})^2= \frac {256.25-48^2}{25}\rightarrow \fbox {h_2 = \frac{64}{5}}[/tex]
Обемът на тялото се получава като от обема на цилиндъра се извади сумата от обемите на двата конуса
[tex]V_ {тяло}=V_{цилиндър}- (V_{конус1}+V_{конус2})=[/tex]
[tex]= \pi r^2 c - (\frac {\pi r ^2 h_1}{3}+\frac {\pi r ^2 h_2}{3})= \frac33 \pi r^2 c - \frac {\pi r ^2 h_1+\pi r^2 h_2}{3}= \frac33 \pi r^2 c - \frac {\pi r ^2 (h_1+ h_2)}{3}=[/tex]
[tex]=\frac { \pi r^2 }{3} [3c-(h_1+ h_2)]= \frac { \pi}{ \cancel {3}} . \frac {48}{5} . \frac {\cancel {3.}16}{5} . [3.20 - (\frac{36}{5}+ \frac{64}{5} )]= \pi. \frac {48.16}{25} . [\frac55 .60 - \frac{36+64}{5}]=[/tex]
[tex]= \pi. \frac {48.16}{25} . \frac {5.60-100}{5}= \pi. \frac {768}{25} . \frac {200}{5} =\pi. \frac {48.16}{25} . \frac {5.60-100}{5}= \pi. \frac {768}{\cancel {25}} . \frac {\cancel {25.}8}{5} =[/tex]
[tex]\fbox {V_{тяло}= \frac {6144}{5} \pi} \approx 3858,4[/tex]