Доказване на неравенство

[Гост]

Докажете,че ако [tex]b\ge -1, b\ne 0[/tex] ,то [tex]\frac{4b^{2}+b+1}{4|b|}\ge \sqrt{b+1}[/tex] .

[Knowledge Greedy]

Известно е неравенството
[tex]\sqrt{\frac{X^2+Y^2}{2}}\ge\sqrt{XY}[/tex]
между средно геометрично и средно квадратично на две неотрицателни величини. Равенството се получава при [tex]X=Y[/tex].
Да заместим сега
[tex]X=2|b|[/tex] и [tex]Y=\sqrt{b+1}[/tex]

Получаваме
[tex]\sqrt{\frac{(2|b|)^2+(\sqrt{b+1})^2}{2}}\ge\sqrt{2|b|\sqrt{b+1}}[/tex]
Премахваме корените
[tex]\frac{(2|b|)^2+(\sqrt{b+1})^2}{2}\ge 2|b|\sqrt{b+1}[/tex]
Разкриваме квадратите в числителя на лявата страна и делим двете страни на [tex]2|b|\ne 0[/tex](по условие)
[tex]\frac{4b^2+b+1}{4|b|}\ge\sqrt{b+1}[/tex] - точно това, което трябваше да докажем - само че са разменени лявата и дясната страни.
Равенство в полученото неравенство се получава [tex]\Leftrightarrow b=\frac{1\pm \sqrt{17}}{8}[/tex]
- тези стойности отговарят на равенството [tex]X=2|b|=Y=\sqrt{b+1}[/tex]

[Гост]

[tex]4b^{2}>0;b+1\ge 0[/tex] От неравенството между средно аритметично и средно геом.[tex]\Rightarrow \frac{4b^{2}+b+1}{2}\ge\sqrt{4b^{2}(b+1)}\Leftrightarrow\frac{4b^{2}+b+1}{2}\ge2|b|\sqrt{b+1}\Leftrightarrow \frac{4b^{2}+b+1}{4|b|}\ge\sqrt{b+1}[/tex] .