Трудна задача

[Гост]

В правоъгълен триъгълник височината СН към хипотенузата пресича ъглополовящата АL в точка Р, а медианата АМ в точка Q. Ако [tex]\frac{PL}{AP}[/tex]=[tex]\frac{2}{1}[/tex], да се намери отношението [tex]\frac{QM}{AQ}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Със свойство на ъглополовящата
[tex]CL=\frac{ab}{b+c}[/tex] - при стандартни означения.

От теорема на Менелай за [tex]\Delta LAM[/tex] и правата (CPQD)
[tex]\frac{AQ}{QM}.\frac{MC}{CL}.\frac{LP}{PA}=1[/tex]

получаваме [tex]\frac{AQ}{QM}.\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{ab}{b+c}}.\frac{2}{1}=1[/tex]

Следователно [tex]\frac{AQ}{QM}=\frac{b}{b+c} \,\ (\ast)[/tex]

С две синусови теореми в [tex]\Delta APC[/tex] и [tex]\Delta PLC[/tex]
(По същество тук използваме факта, че [tex]CH[/tex] е височина към хипотенузата в [tex]\Delta ABC[/tex])
намираме
[tex]\frac{AP}{sin\beta}=\frac{CP}{sin \frac {\alpha}{2}}[/tex]
и
[tex]\frac {CP}{sin \frac {(\beta+\frac {\alpha} {2} )} {2} }=\frac{PL}{sin\alpha}[/tex]

Като умножим почленно и отчетем, че [tex]PL = 2AP[/tex]
получаваме [tex]2sin\beta sin \left( \beta+\frac {\alpha} {2} \right )=sin\alpha sin \frac {\alpha} {2}[/tex]

Последното тригонометрично равенство, като имаме предвид, че [tex]\alpha + \beta=\frac{\pi}{2}[/tex], е равносилно на
[tex]cos\alpha =\frac{1}{3}[/tex]

Замествайки в [tex](\ast)[/tex], намираме [tex]\frac{AQ}{QM}=\frac{1}{4} \,\ (\ast)[/tex]

При това заместване разбира се имаме предвид, че [tex]cos\alpha = \frac{b}{c}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Ето чертежа към "трудната" задача.

Чертежът към трудната задача.png (4.69 KiB) Прегледано 148 пъти

Точен е - съотношенията от условието и отговора са спазени.