ABC височините са CD = 12 см. И AN=8. Синусът на ъгъл B = ?

[Гост]

В равнобедрен триъгълник ABC височините са CD = 12 см. И AN=8. Намерете синусът на ъгъл B.

[KOPMOPAH]

Триъгълниците [tex]\Delta ABN[/tex] и [tex]\Delta BCD[/tex] са подобни (имат по един прав ъгъл и общ ъгъл [tex]B[/tex]).
От подобието следва:
[tex]\frac{AN}{CD}=\frac{BN}{BD}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}[/tex]. Ако отбележим [tex]BN[/tex] с [tex]2x[/tex], то се получава [tex]BD=3x \Rightarrow AB=6x[/tex].
По Питагорова теорема за [tex]\Delta ABN[/tex] [tex]AB^{2}=AN^{2}+BN^{2}[/tex], [tex](6x)^{2}=8^{2}+(2x)^{2}[/tex], откъдето след преобразуване [tex]x=\sqrt{2}[/tex]. Tърсеният синус е равен на [tex]\frac{AN}{AB}=\frac{8}{6x}=\frac{8}{6\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]