трудна задача

[Гост]

Даден е равностранен триъгълник със страна 11cm. През точка N (принадлежаща на AB), успоредно на страните AC и BC са прекарани прави, пресичащи тези страни съответно в точки P и Q. Ако лицето на триъгълник PQN = 7[tex]\sqrt{3}[/tex], да се намери дължината на отсечката PQ

[Гост]

[tex]\sqrt{37}[/tex]?

[Гост]

моля за решение

[Гост]

Имаме, че [tex]AN=AP=NP=x, \, BN=BQ=NQ=11-x[/tex] и [tex]\angle PNQ = 60^\circ[/tex]. Тогава

[tex]S_{\triangle PQN} = \frac{PN \cdot NQ}{2} \sin 60^\circ = 7\sqrt{3} \Rightarrow x^2-11x+28=0 \Rightarrow x_{1,2} = \{ 7; \, 4 \}[/tex].

С една косинусова теорема за [tex]\triangle PNQ[/tex] за страната [tex]PQ[/tex] се получава [tex]PQ^2 = 3x^2-33x+121[/tex]. Оттук [tex]PQ = \sqrt{37}[/tex].