Броят на различните корени на тригонометричното уравнение

[Гост]

Да се намери броят на различните корени на уравнението, които принадлежат на интервала (0,[tex]\frac{3\pi }{2}[/tex])
[tex]\frac{tgx\:+\sqrt{3}}{\sqrt{3}tgx-1}=1[/tex]

[Nathi123]

[tex]\frac{tgx+\sqrt{3}}{\sqrt{3}tgx-1}=1\Rightarrow tgx\ne \frac{1}{\sqrt{3}}; \Rightarrow tgx+\sqrt{3}=\sqrt{3}tgx-1\Rightarrow tgx=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{x}-1}\Leftrightarrow tgx=2+\sqrt{3}\Rightarrow tg2x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow 2x=\frac{5\pi}{6}\Rightarrow tgx=\frac{5\pi}{12}\Rightarrow x=\frac{5\pi}{12}+k\pi, k\in Z[/tex] От всички тези решения в посочени са [tex]x= \frac{5\pi}{12} ,(k=0)\cup x=\frac{17\pi}{12} ,( k=1).[/tex]
[tex]tg2x = \frac{2tgx}{1-tg^{2}x}[/tex].

[KOPMOPAH]

Аз мисля, че [tex]tg2x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow 2x=\frac{5\pi}{6}+k\pi (!)\Rightarrow tgx=\frac{5\pi}{12}+k\frac{\pi}{2}\Rightarrow x=(6k+5)\frac{\pi}{12}, k\in Z[/tex], и, съответно, в зададения интервал уравнението има решения за $k=0, x=\frac{5\pi}{12}$, за $k=1, x=\frac{11\pi}{12}$ и за $k=2, x=\frac{17\pi}{12}$

[Nathi123]

Даденото дробно и тригонометрично уравнение се свежда до системата[tex]\begin{array}{|l} tgx= 2+\sqrt{3} \\ tgx\ne\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}[/tex]
[tex]tg\frac{11\pi}{12}=tg(\pi - \frac{\pi}{12})= - \frac{\pi}{12}[/tex] Използвайки същата формула за изразяване на tg на даден ъгъл,чрез тангенса на половината ъгъл се получава,че [tex]tg \frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}\Rightarrow tg\frac{11\pi}{12}=\sqrt{3}-2\ne 2+\sqrt{3}[/tex]. Т.е. уравненията [tex]tgx = 2+\sqrt{3}[/tex] и [tex]tgx2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex] не са еквивалентни. Това което съм използвала в решението е формулата за връзка между тангенсите на даден ъгъл и удвоения! И вместо [tex]\alpha[/tex] съм писала х.

[emil3993]

Хубава задача.