Равнобедрен триъгълник

[Гост]

В равнобедрен остроъгален триъгълник ABC(AC=BC) отношението на радиуса на вписаната окръжност към радиуса на описаната окръжност е 3:8
Да се намери косинусът на [tex]\angle[/tex]ABC

[Nathi123]

[tex]AC = BC \Rightarrow \angle CAB= \angle ABC = \alpha \Rightarrow \angle ACB = 180^\circ - 2\alpha[/tex] . По условие триъгАВС е остроъг.[tex]\Rightarrow \alpha <90 ^\circ и 180^\circ - 2\alpha <90^\circ[/tex]. Нека СН[tex]\bot AB \Rightarrow AH = BH =x.[/tex] Построяваме АО - ъглополовяща на ъгъл САВ и т.О [tex]\in CH \Rightarrow[/tex] т. О-център на вп. в триъг. АВС окръжност и ОН =r -радиус на вписаната окр. Нека [tex]O_{1 }[/tex] - център на описаната окр. и R - радиусът й. От синусова т-ма [tex]\Rightarrow \frac{AB}{sin(180^\circ-2\alpha} = 2R\Rightarrow \frac{2x}{sin2\alpha}=2R\Rightarrow R = \frac{x}{sin2 \alpha}[/tex] От триъг. АНО [tex]\Rightarrow \frac{r}{x}=tg\frac{\alpha}{2}\Rightarrow r=xtg\frac{\alpha}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{r}{R} = \frac{3}{8}\Rightarrow sin2 \alpha tg \frac{\alpha}{2}= \frac{3}{8}\Rightarrow 2sin \alpha cos\alpha\frac{\alpha}{2}=\frac{3}{8}[/tex] От формулите [tex]sin\alpha = \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1+tg^{2}\frac{\alpha}{2}}[/tex] и [tex]cos\alpha = \frac{1-tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+tg^{2}\frac{\alpha}{2}}[/tex] се получава уравнението за у = [tex]tg^{2}\frac{\alpha}{2}: 35y^{2} - 26 y +3 =0[/tex] с корени [tex]y_{1 }=\frac{3}{5}\cup y_{2 } = \frac{1}{7}.[/tex] От условията на зад. следва,че [tex]y\in( 3-2\sqrt{2},1)\Rightarrow y = \frac{3}{5}\Rightarrow cos\alpha=\frac{1}{4}[/tex].