Задачи от примерни матури

[Гост]

1) Равнобедрен триъгълник ABC с радиус на описана 25 и радиус на вписаната 12.Търси се лицето.
2)Лицето на остроъгълен тр. ABC е 18.През върховете му B и C са построени височините BD и CH.Отсечката DH= 2[tex]\sqrt{2}[/tex] ,а лицето на тр. ADH = 2. Да се намери радиусът на описаната около тр. ABC окръжност.
3)Системата няма решение за a равно на: \begin{array}{|l} 2x+(9a^{2} -2)y=6a-2\\ x + y = 1 \end{array}
//За 3) получавам [tex]а=\pm\frac{2}{3}[/tex] ,но не съм сигурен дали е това отговора.

[KOPMOPAH]

Да започнем с $3)$
Системата няма решение или има безброй решения при [tex]\Delta = 0[/tex]
[tex]\Delta = 4-9a^{2}=(2-3a)(2+3a)[/tex], следователно при $a=\pm\frac{2}{3}$, [tex]\Delta = 0[/tex].
1. При $a=\frac{2}{3}$ системата придобива вида:
[tex]\begin{array}{|l} 2x + 2y = 2 \\ x + y = 1 \end{array}[/tex]
с безброй решения.
2. При $a=-\frac{2}{3}$ системата придобива вида:
[tex]\begin{array}{|l} 2x + 2y = -6 \\ x + y = 1 \end{array}[/tex]
и няма решения.

[Гост]

А всъщност какво е [tex]\Delta[/tex] . За първи път го виждам при решение на система/уравнение.

[Knowledge Greedy]

Очаквах (а навярно и KOPMOPAH e очаквал) този въпрос.
Защото детерминанта [tex]\Delta = a_1b_2-a_2b_1[/tex] на линейна система [tex]\begin{array}{|l} a_1x+b_1y = c_1 \\ a_2x+b_2y = c_2 \end{array}[/tex] се учи във все по-малко средни училища.

Иначе решението правим примерно със заместване и изследване на едно линейно параметрично уравнение.
[tex]\begin{array}{|l} 2x+(9a^2−2)y=6a−2 \\ x + y = 1 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2x+(9a^2−2)y=6a−2 \\ y = 1-x \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2x+(9a^2−2)(1-x)=6a−2 \\ y = 1-x \end{array}[/tex]
Разглеждаме само първото уравнение. Разкриваме скобите.
[tex]2x+9a^2−2-9a^2x+2x=6a−2[/tex]

Групираме отляво едночлените, които съдържат [tex]x[/tex] и отдясно - всички останали (тези, които прехвърляме - с противоположен знак).

[tex]2x-9a^2x+2x=-9a^2+2+6a−2[/tex]

[tex](4-9a^2)x+2x=6a-9a^2[/tex]
Изследваме. Целта е системата да няма решение, следователно достатъчно е за едното неизвестно да не може да се получи решение. Това става при [tex]4-9a^2=0[/tex] и [tex]6a-9a^2\ne 0[/tex]
Първото е явно при [tex]a=\pm \frac{2}{3}[/tex],
а второто
- при [tex]a\ne 0[/tex] и [tex]a\ne \frac{2}{3}[/tex]
Отговор:
[tex]a =- \frac{2}{3}[/tex]
_________
Непосредствено се проверява, че при [tex]a = \frac{2}{3}[/tex] уравнението добива вида [tex]0.x=0[/tex] и решенията му (както и на системата) са безбройно много.

Докато при [tex]a =- \frac{2}{3}[/tex] уравнението е [tex]0.x=-8[/tex]

Случай с [tex]a=0[/tex] няма, защото разглеждаме само [tex]a=\pm \frac{2}{3}[/tex]

При [tex]a\ne \pm \frac{2}{3}[/tex] уравнението винаги има един корен и съответно системата има само едно решение.

[KOPMOPAH]

Много жалко, че детерминанта се учи във все по-малко средни училища.
А е толкова удобно.

[KOPMOPAH]

Триъгълник-с-височини.png (8.4 KiB) Прегледано 280 пъти

Продължаваме с $2)$
[tex]\Delta ABD \approx \Delta ACH \Rightarrow AH:AD = AC:AB[/tex], но и [tex]\Delta ABC \approx \Delta ADH[/tex], тъй като имат пропорционални съответни страни и ъгъл $\alpha$ между тях. По условие $S_{ADH}=2$, $S_{ABC}=18$, следователно отношението на съответните линейни елементи в триъгълниците е $\sqrt{\frac{S_{ABC}}{S_{ADH}}}=3$, т.е. $BC=a=6\sqrt{3}$, $AC:AH=3 \Rightarrow cos\alpha = \frac{1}{3} \Rightarrow sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Според синусова теорема $\frac{a}{sin\alpha}=2R\Rightarrow R=\frac{a}{2sin\alpha}$ и след заместване се получава търсеният радиус.