Стереометрия

[Гост]

ABCDA1B1C1D1 е куб с ръб а. Да се намери ∠(AB;OD1), AC\capBD в т. О.

[Knowledge Greedy]

[tex]AD_1||BC_1 \,\ \Rightarrow[/tex][tex]∠(AD_1;OC_1)=∠(BC_1;OC_1)=∠BC_1O[/tex]

Да забележим, че [tex]ΔBOC_1[/tex] е половина от равностранния [tex]ΔBDC_1[/tex] - страните му са диагонали на стените на куба.
[tex]ΔBOC_1[/tex] е правоъгълен, а ъгълът [tex]\angle OBC_1=60^\circ[/tex], следователно търсеният [tex]∠BC_1O=30^\circ.[/tex]

[Гост]

[tex]D_{1 }C_{1 }|| AB\Rightarrow \angle (AB,D_{1 }O)=\angle D_{1 }C_{1 },D_{1 }O) ; \Delta DD_{1 }O\Rightarrow D_{1 }O^{2} = a^{2}+ (\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}\Rightarrow D_{1 }O =a\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex] [tex]\Delta DD_{1 }O\cong \Delta CC_{1 }O\Rightarrow D_{1 }O=C_{1 }O\Rightarrow \angle C_{1 }D_{1 }O=\angle OC_{1 }D_{1 }=\varphi[/tex]. [tex]OH\bot D_{1 }C_{1 }\Rightarrow \frac{HD_{1 }}{OD_{1 }} =cos\varphi ( \Delta OHD_{1 })\Rightarrow
cos\varphi = \frac{a}{2a\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{6}}[/tex] .

[Knowledge Greedy]

Аз съм написал решение на друга задача. Уважаемият Гост е дал вярното решение на задачата по-горе.
Ето още едно решение на същата задача.

КУБ ъгъл между AB и OD1.png (7.16 KiB) Прегледано 533 пъти

Да означим с [tex]M[/tex] средата на ръба [tex]AD[/tex].
Тогава [tex]MO||AB[/tex] като средна отсечка в [tex]\Delta ABD[/tex]
Следователно [tex]\angle (AB,OD_1) \,\ = \,\ \angle MOD_1[/tex]
последният ъгъл откриваме по косинусова теорема, приложена за [tex]\Delta MOD_1[/tex]
[tex]cos \angle MOD_1 = \frac { \left ( \frac {a}{2} \right )^2+ \left ( \frac {a \sqrt {6}}{2} \right )^2- \left ( \frac {a \sqrt {5}}{2} \right )^2} {2 . \frac {a}{2} . \frac {a \sqrt {6}}{2} }=\frac{1}{\sqrt{6}}[/tex]