Доказателство и още нещо

[Гост]

Здравейте! Нужна ми е помощ с две задачи:
1. Да се докаже, че ако a[tex]\epsilon[/tex]Z, то [tex]а^{3}-а[/tex] се дели на 3 без остатък.
2. Да се пресметне [tex]x^{3}+y^{3}[/tex], ако x+y = a и [tex]x^{2}+xy^{2}=b[/tex]
Благодаря Ви!

[KOPMOPAH]

1) [tex]a^{3}-a=a(a^{2}-1)=a(a-1)(a+1)[/tex], произведението на три последователни числа винаги се дели на 3, защото сред тях винаги има кратно на 3.

Във втората задача има някаква грешка . Виж си условието.

[Гост]

1) [tex]a^{3}-a=a(a^{2}-1)=a(a-1)(a+1)[/tex], произведението на три последователни числа винаги се дели на 3, защото сред тях винаги има кратно на 3.

Във втората задача има някаква грешка . Виж си условието.

Да, изпуснал съм у... Истинското условие е:
[tex]xy^{2}+xy^{2}=b[/tex]

[KOPMOPAH]

Тъй като ми се струва, че пак не си дал правилното условие, аз ще реша една подобна задача
И така, на колко е равно $x^{3} +y^{3}$, ако $x+y=a$ и $x^{2}y+xy^{2}=b$
$x^{3} +y^{3}=(x+y)(x^{2} -xy+y^{2})$. От $x^{2}y+xy^{2}=b \Rightarrow b=(x+y)xy=axy \Rightarrow xy=\frac{b}{a}$
$x+y=a \Rightarrow (x+y)^{2} = x^{2} +2xy+y^{2} = a^{2} \Rightarrow x^{2}+y^{2} =a^{2} -2xy= a^{2}-2\frac{b}{a}$
Заместваме и получаваме $x^{3} +y^{3}=a(a^{2} -2\frac{b}{a} -\frac{b}{a})=a(a^{2} -3\frac{b}{a})$