Неравенство

[Гост]

Да се намери най-малкото цяло число, което е решение на неравенството и множеството от стойностите на функцията
[tex]2\left(\frac{1}{6}\right)^{2x}\:-4\left(\frac{1}{6}\right)^x<70[/tex]

[Добромир Глухаров]

$6^{-x}=u\\
2u^2-4u-70<0\\
u^2-2u-35<0\\
u\in(-5;7)\\
6^{-x}<7\\
x=-1\Rightarrow 6<7\\
x=-2\Rightarrow 6^2>7\\
\Rightarrow$
Най-малкото цяло х е $x=-1$

Използва се, че $u(x)=6^{-x}$ е намаляваща функция, т.е. за $x_1<x_2\Rightarrow u(x_1)>u(x_2)$

[Добромир Глухаров]

$f(x)=2.6^{-2x}-4.6^{-x}\\
u=6^{-x}\in(0;+\infty)\\
f(x)=\varphi(u)=2u^2-4u=2(u-1)^2-2\in[-2;+\infty)\ (\min\varphi(u)=\varphi(1)=-2)$

$f(x)\in[-2;+\infty)$