пирамида

[Гост]

В триъгълна пирамида всички ръбове имат дължина 1 cm. Да се намери радиусът на вписаната в пирамидата сфера.

[Knowledge Greedy]

Центърът на вписаната в пирамидата сфера е точка, в която се срещат равнините, които са ъглополовящи на шестте двустенни ъгъла. Линеен ъгъл на двустенния ъгъл на правилния тетраедър се сключва от апотемите на двете стени, които образуват този ъгъл.
Затова разглеждаме триъгълника образуван от ръб ([tex]AD[/tex]) на тетраедъра и двете апотеми ([tex]DM[/tex] и [tex]AM[/tex]) с общ край - средата [tex]M[/tex] на срещуположния (кръстосания му) ръб ([tex]BC[/tex]).

Две апотеми и ръб Център на вписана сфера.png (5.14 KiB) Прегледано 866 пъти

Изчисленията показват, че [tex]r=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex] при [tex]a =1[/tex]

[KOPMOPAH]

Задачата може да се реши и така:
Ако съединим центъра на вписаната сфера с върховете на пирамидата, се получават 4 малки пирамиди с общ връх този център, основи - стените на пирамидата с лице $S$ и височини - търсеният радиус $r$. Обемът е $V=4S.r.\frac{1}{3}$. От друга страна $V=S.h.\frac{1}{3}$, а височината $h$ се намира по Питагорова теорема и е равна на [tex]\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex]. В крайна сметка имаме $4 \cancel S.r.\cancel {\frac{1}{3}}= \cancel S.\frac{\sqrt{6}}{3}. \cancel {\frac{1}{3}} \Rightarrow r=\frac{\sqrt{6}}{12}$

[Гост]

в правилна триъгълна пирамида основния ръб е 6 см, а околния ръб е 5 см. Намерете лицето на околната повърхнина и обема на пирамидата

[KOPMOPAH]

След като в правилната триъгълна пирамида основният ръб е $6 \;cm$, а околният ръб е $5\; cm$, лесно се вижда, че апотемата на околна стена е $4\;cm$ (най-известната Питагорова тройка {3,4,5}). Лицето на околната повърхнина е $S=3\frac{6.4}{2}=36\;cm^2$, а за намиране на обема на пирамидата ти трябва височината, която намираш пак по Питагоровата теорема $h^2=5^2-\left(\frac{2\sqrt3}{3}\right)^2$, нататък сам(а)