Триъгълник вписан в окръжност

[Гост]

Някакви идеи по следната задача:
зад. През върха A на равнобедрен остроъгълен триъгълник ABC и центъра на описаната му окръжност е построена права, пресичаща BC в точка D. Да се намери AD, ако [tex]AC=BC=b[/tex] и [tex]\angle[/tex][tex]ABC=\alpha[/tex]

[Nathi123]

Построяваме СН [tex]\bot AB \Rightarrow AH=BH=x\Rightarrow AB=2x ; AC=BC=b . \Delta ACH \Rightarrow \frac{x}{b} = cos\alpha .[/tex] ( по условие [tex]\angle CAB = \angle ABC = \alpha ) . AB = 2bcos\alpha .\Delta ADB \Rightarrow\angle ABD = \alpha ; \angle DAB = \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \angle ADB = 180^\circ - \frac{3\alpha}{2} .[/tex] От синусова т-ма за триъг. ABD [tex]\Rightarrow \frac{AD}{sin\alpha} = \frac{AB}{sin(180^\circ-\frac{3\alpha}{2})}[/tex][tex]\Rightarrow AD = \frac{2bcos\alpha.sin\alpha}{sin\frac{3\alpha}{2}} = \frac{bsin2\alpha}{sin\frac{3\alpha}{2}} .[/tex]

[Nathi123]

Грешно съм прочела условието ,че AD минава през ц. на вписаната окръжност за триъгълника. Когато AD минава през ц. на описаната окръжност , тогава [tex]\angle ADB = 270^\circ - 3\alpha \Rightarrow AD = \frac{bsin2\alpha}{ sin( 270^\circ - 3\alpha)} \Rightarrow AD = \frac{bsin2\alpha}{-cos3\alpha}[/tex].