Окръжности

[Гост]

Две окръжности [tex]K_1[/tex]([tex]O_1[/tex],R) и [tex]K_2[/tex]([tex]O_2[/tex],R) се пресичат съответно в точки A и B. Права p през точка B пресича [tex]K_1[/tex] и[tex]K_2[/tex] съответно в точки [tex]M_1[/tex] и [tex]M_2[/tex]. Ako [tex]\angle[/tex][tex]O_1[/tex]A[tex]O_2[/tex]=[tex]\alpha[/tex], [tex]\alpha[/tex][tex]\ne[/tex]90[tex]^\circ[/tex], то [tex]\angle[/tex]А[tex]M_1[/tex][tex]M_2[/tex] и [tex]\angle[/tex]А[tex]M_2[/tex][tex]M_1[/tex] са равни на?

[Гост]

Две окръжности K_1(O_1,R) и K_2(O_2,R) се пресичат съответно в точки A и B.

Какво означава: "окръжности се пресичат съответно в точки A и B."?

[KOPMOPAH]

Две окръжности.png (16.91 KiB) Прегледано 198 пъти

Ако в изречението

окръжности се пресичат съответно в точки A и B

се премахне думата "съответно", то смисълът няма да се измени, а въпросите ще отпаднат .
Просто приемаме, че двете окръжности се пресичат в т. $A$ и т.$B$, както съм се опитал да изобразя на чертежа.
Тъй като ъглите $\measuredangle ABM_1$ и $\measuredangle ABM_2$ са съседни, то техният сбор е $180^\circ$, а от там следва, че сумата на дъгите $\widehat{AN_1M_1}$ и $\widehat{AN_2M_2}$ е $360^\circ$, следователно дъгата $\widehat{ABM_1}$ е равна на дъгата $\widehat{AN_2M_2}$.
На равни дъги съответстват равни хорди [tex]\Rightarrow AM_1=AM_2[/tex]. В такъв случай [tex]\Delta AO_1M_1\cong \Delta AO_2M_2[/tex] по трети признак и $\measuredangle O_1AM_1=\measuredangle O_2AM_2$
$\measuredangle M_1AM_2=\measuredangle \alpha - \cancel{\measuredangle O_1AM_1}+ \cancel{\measuredangle O_2AM_2}=\measuredangle \alpha$
Тогава за търсените ъгли (които са при основата на равнобедрения триъгълник $AM_1M_2$) имаме:
$\measuredangle AM_1M_2=\measuredangle AM_2M_1= \frac{(180^\circ-\alpha)}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}$

P.S. Не можах да разбера защо в условието има ограничение $\alpha \ne 90^\circ$, след като не влияе на решението на задачата.