външни допирателни

[Гост]

MA и MB са общите външни допирателни към външнодопиращите се k и [tex]k_{1 }[/tex]. Ако AC = 1,5 dm, то периметърът P на четериъгълника ABDC e равен на?

[Davids]

20160512_130743.jpg (1.57 MiB) Прегледано 479 пъти

1. MC = MD и MA = MB (допирателни към окръжност от една точка) [tex]\Rightarrow AC = BD = 1,5 dm = 15cm[/tex]
2. Построяваш правата, свързваща MA и MB, която минава през точката на допиране на двете окръжности и ако кръстим тази точка P и точката на MA - E, а тази на MB - F, то получаваме EP = [tex]\frac{1}{2} AC[/tex] = FP = 7,5 cm [tex]\Rightarrow EF = AC = BD = 15cm[/tex]
3. Но ABDC е успоредник според теоремата на Талес (тъй като правите AB и DC разделят двете рамена на ъгъла AMB на пропорционални части) [tex]\Rightarrow[/tex] EF е средна отсечка на трапеца (понеже точките Е и F разполовяват също така AC и BD) [tex]\Rightarrow AB + CD = 2EF = 2.15 = 30 cm[/tex] и окончателно обиколката е 60cm или 6dm.
П.С.: Гледам, че задачата е качена при материала за 12 клас и това ме кара да си мисля, че не би трябвало да е лесно, така че ако съм объркал нещо, ме извинете... но мисля, че това е решението общо взето

[Гост]

ЕF не е средна отсечка.

[Davids]

ЕF не е средна отсечка.

Ами.. Нещо не ми се отдава да разбера защо, възможно е да се бъркам, но понеже нали свързва така средите на бедрата на трапец, та би трябвало да следва, че е средна отсечка

[Гост]

Нека допирната точка на двете окръжности е Р и през нея прекраме права, която пресича АС и BD съответно в точките N и K. Триъгълниците ANP и PNC- равнобедрени- откъдето следва,че триъгълник APC- правоъгълен с прав ъгъл при върха Р. Аналогично- триъгълник BPD- правоъгълен с прав ъгъл при върха Р. Отъдето следва, че за четириъгълника ABCD т.Р е пресечната точка на ъглополовящите и ъгъл AРС + ъгъл BPD е равно на 180 градуса, откъдето следва, че в четириъгълника може да се впише окръжност.
Следователно AB+CD=AC+BD=> P=60.