интересна задача

[mathinvalidnik]

Точка М е вътрешна за изпъкналия четириъгълник ABCD,който е с лице S.Точките E,F,G и H са симетрични на точка M относно средите на страните на четириъгълника ABCD.Изразете чрез S лицето на четириъгълника EFGH.

[mathinvalidnik]

Някой има ли идея ?

[Spider Iovkov]

Съжалявам, че има малко повтарящи се буквички, но CarMetal не работи добре на този компютър, , надявам се, че идеята ми ще се схване.

Точката [tex]I[/tex] е дадената точка [tex]M[/tex].

Понеже [tex]KF, \, KH, \, HG, \, GF[/tex] са средни отсечки, то

[tex]KF=HG=\frac{BD}{2}, \, KF||BD, \, HG||BD[/tex] и [tex]KH=GF=\frac{AC}{2}, \, KH||AC, \, GF||AC[/tex].

Така четириъгълникът [tex]KHGF[/tex] е успоредник.

Но [tex]\triangle ABD \sim \triangle AKF \Rightarrow \left ( \frac{BD}{KF} \right )^2 = \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle AKF}} \Leftrightarrow S_{\triangle AKF} = \frac{S_{\triangle ABD}}{4}[/tex].

Аналогично [tex]S_{\triangle KBH} = \frac{S_{\triangle ABC}}{4}, \, S_{\triangle CGH} = \frac{S_{\triangle BCD}}{2}, \, S_{\triangle DGF} = \frac{S_{\triangle ACD}}{4}[/tex].

Сега [tex]S_{ABCD} = S_{\triangle KBH} + S_{\triangle CHG} + S_{\triangle DGF} + S_{\triangle AKF} + \fbox {S_{KHGF}} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow S_{ABCD} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} + \frac{1}{4} S_{\triangle BCD} + \frac{1}{4} S_{\triangle ACD} + \frac{1}{4} S_{\triangle ABD} + \fbox{S_{KHGF}} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow S_{ABCD} = \frac{1}{4} \left ( S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} + S_{\triangle BCD} + S_{\triangle ABD} \right ) + \fbox {S_{KHGF}} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow S_{ABCD} = \frac{1}{4} . 2 S_{ABCD} + \fbox {S_{KHGF}} \Leftrightarrow S_{KHGF} = \frac{S_{ABCD}}{2} = \frac{S}{2} \, (*)[/tex].

Сега за лицето на търсения четириъгълник получаваме

[tex]S_{EFGH} = S_{\triangle EFI} + S_{\triangle FGI} + S_{\triangle GHI} + S_{\triangle HGI} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow S_{EFGH} = 4 S_{\triangle KHI} + 4 S_{\triangle HGI} + 4 S_{\triangle FGI} + 4 S_{\triangle FKI} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow S_{EFGH} = 4 \left ( S_{\triangle KHI} + S_{\triangle HGI} + S_{\triangle FGI} + S_{\triangle FKI} \right ) \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow S_{EFGH} = 4 S_{KHGF} \Leftrightarrow S_{EFGH} = 2S[/tex].