Логаритмично параметрично уравнение

[Гост]

За кои стойности на параметъра а уравнението [tex]log_{x}(x^2+x+a)^2=4[/tex] има единствено решение.
Аз се опитах но нещо губя връзката някъде. Ето ги моите разсъждения:

1. [tex]x\in(0;1)[/tex]
[tex](x+a)(2x^2+x+a)=0[/tex]
Ако [tex]0<-a<1[/tex] т.е [tex]a\in(-1;0)[/tex] то корените на второто уравнение ще са отрицателни и няма да принадлежат на ДМ и [tex]x=-a[/tex] ще е единствено решение

2. [tex]x>1[/tex]
[tex](x+a)(2x^2+x+a)=0[/tex]
Ако [tex]-a>1 => a<1[/tex] тогава [tex]x=-a[/tex] ще е решение и сега разглеждам второто уравнение, за което според мен има няколко варианта:
1. Изобщо да няма корени
2. Ако има, то те да са по-малки от 1

1. [tex]D=1-8a<0=>a>\frac{1}{8}[/tex] и като засечем с [tex]a<1[/tex] получаваме, че при [tex]a\in(\frac{1}{8};1)[/tex] [tex]x=-a[/tex] ще е единствено решение.
2.Върхът на параболата е по-малък от 1, [tex]1*(f1)=a+3>0=>a>-3[/tex], [tex]D\ge0=>a\le\frac{1}{8}=>a\in(-3;\frac{1}{8}][/tex] От 1 и 2 следва, че при [tex]a\in(-3;1)[/tex] имаме единствено решение

Сега накъде?

[Knowledge Greedy]

Първото ти твърдение не е вярно. Когато [tex]0<-a<1[/tex] , положителните корени са два.
По-надолу също има грешки:
...
1. [tex]D=1−8a<0=>a>\frac{1}{8}[/tex] и като засечем с [tex]a<1[/tex] получаваме, че при [tex]a∈(\frac{1}{8};1)[/tex]
[tex]x=−a[/tex] ще е единствено решение.[tex]^{\ast}[/tex] Как така?! Нали [tex]x>0[/tex]
_______________
Защо усложняваш нещата като разглеждаш случаи за [tex]x \in (0;1)[/tex] и [tex]x>1[/tex]
Това се прави при решаване на неравенства.

Просто смени основата - например 10,
уравнението добива вида
[tex]\frac{lg(x^2+x+a)^2}{lgx}=4[/tex], след това го разложи на множители (след антилогаритмуването) - с разлики на квадрати ще стане [tex](x+a)(2x^2+x+a)=0,[/tex]
явно ще има корен [tex]-a[/tex]
Другите два корена са [tex]x_{2,3}=\frac{-1\pm \sqrt{1-8a}}{4}[/tex]
Допустимите стойности са в интервалите [tex]x \in (0;1)\cup (1;+\infty)[/tex]
Корена
[tex]x_{3}=\frac{-1-\sqrt{1-8a}}{4}<0[/tex] изобщо не разглеждаме (когато съществува).
Следователно търсим [tex]a[/tex] , за което корен на уравнението е или [tex]x_1=-a[/tex] , или [tex]x_{2}=\frac{ \sqrt{1-8a}-1}{4}[/tex], но не и двата едновременно (ако са различни).
Ако [tex]a\ge 0[/tex], реални корени изобщо няма, защото [tex]x_1<0[/tex] и [tex]x_2<0[/tex] при [tex]a\in \left [0; \frac{1}{8} \right ][/tex]
Нека [tex]a<0[/tex].

1-ви случай. [tex]x_1=-a[/tex] не е корен. Това може да стане само ако [tex]a=-1[/tex]. Но тогава [tex]x_2=\frac{1}{2}[/tex] - единствен корен.

2-ри случай. [tex]x_{2}=\frac{ \sqrt{1-8a}-1}{4}>0[/tex] не е корен. Това може да стане само ако [tex]x_2=1[/tex]
А то е равносилно на [tex]a=-3[/tex]

3-ти случай. Двата корена съвпадат [tex]x_1=x_2[/tex] Съответното уравнение за [tex]a[/tex] дава [tex]a=0[/tex] -противоречие - работим с [tex]a<0[/tex]

Отговор: [tex]a \in \left \{ -1; -3 \right \}[/tex]