Уравнение

[Гост]

Трябва да се намери за кои стойности на реалния параметър k уравнението има 4 корена, два от които са реални:
[tex](k-2)^{2}x^{4} - 2(k^{2} - k - 2)x^{2} + k^{2} + 2k - 3 = 0[/tex]

[nobody]

Полагаме t = [tex]x^{2}[/tex]
Уравнението става [tex](k-2)^{2}[/tex][tex](t)^{2}[/tex] - 2([tex]k^{2}[/tex] - k - 2)t + [tex]k^{2}[/tex] + 2k - 3 = 0

За да е изпълнено условието уравнението да има 4 корена само 2 от които са реални, то трява горното уравнение да има 1 положителен и 1 отрицателен корен което е вярно при
t1.t2<0
[tex]\frac{k^{2}+ 2k - 3 }{ (k-2)^{2}}[/tex] < 0
което е изпълнено при k[tex]\in[/tex](-3;1)

[Knowledge Greedy]

Само случаят [tex]k=2[/tex] трябва да разгледаме отделно, защото [tex]2 \in (1; \,\ 3)[/tex], а коефициентът [tex]a[/tex] е важен все пак

[nobody]

2[tex]\in[/tex](1;3) но 2[tex]\notin[/tex](-3;1), при k=2 уравнението няма решение, при [tex]t_{1/2 }[/tex] = 0, [tex]t_{2/1 }[/tex]>0 имаме 3 реални корена, при [tex]t_{1/2 }[/tex] = 0, [tex]t_{2/1 }[/tex] <0 имаме 2 комплексни 1 реален корен, при [tex]t_{1 }[/tex]>0, [tex]t_{2 }[/tex]>0 - 4 реални и при [tex]t_{1 }[/tex]<0, [tex]t_{2 }[/tex]<0 - 4 комплексни