Задача от стереометрия

[Гост]

Здравейте
Имам нужда от помощ по следната задача:
Дадена е правилна триъгълна пирамида ABCD с взаимно перпендикулярни околни ръбове AD, BD и CD. Върхът F на правилна четириъгълна пирамида MNPQF лежи на ръба AD, а върховете на основата MNPQ лежат на останалите ръбове на триъгълната пирамида. Да се намери отношението на обема на пирамидата MNPQF към обема на пирамидата ABCD

[Knowledge Greedy]

Като разсъждаваме за местоположението на върховете на основата, трябва да тръгнем от там, че те са в една равнина. Основата е квадрат (значи успоредник) и пресечниците ѝ със стени на дадената триъгълна пирамида трябва да са успоредни по двойки - едната на околен ръб, а другата двойка на основен ръб на дадената пирамида.

Две правилни пирамиди-едната вписана в другата.png (26.29 KiB) Прегледано 517 пъти

На чертежа това са [tex]MQ||NP||BC[/tex] и [tex]MN||PQ||AD.[/tex]
Вторият ключ - вече за изчисленията, дава апотемата [tex]FK[/tex] на околна стена на втората пирамида (на чертежа е средата на [tex]MN[/tex] и не е надписана). Ако означим основния ръб на втората пирамида с [tex]2x[/tex],
околният ръб на голямата пирамида е [tex]a=2x+x\sqrt{2}[/tex], а обемът и е [tex]\frac{1}{6}a^3[/tex]
Обемът на малката е [tex]\frac{1}{3}(2x)^2.x=\frac{4}{3} x^3[/tex]
Изразявайки отношението на обемите, получаваме [tex](2-\sqrt{2})^3[/tex]
Инструменти:
средна отсечка, теорема на Талес и теорема на Питагор.
__________________
Забележка. На чертежа и двете пирамиди са "паднали" на своя околна стена - на едната [tex]\Delta ABD[/tex], на другата [tex]\Delta MNF[/tex].