Екстремална задача

[Гост]

От всички правоъгълни триъгълници с периметър 2р да се намери онзи, който има най-голяма височина към хипотенузата.

[Knowledge Greedy]

Понеже [tex]h\le (p-c)\sqrt{2}+r[/tex] или още [tex]h\le (p-c)(\sqrt{2}+1)[/tex]
то явно най-голямата стойност на [tex]h[/tex] e [tex](p-c)(\sqrt{2}+1)[/tex] и тя се достига за равнобедрет триъгълник [tex]a=b[/tex].

Оценка за височината към хиротенузата.png (5.19 KiB) Прегледано 220 пъти

Тогава
[tex]\begin{array}{|l} a=b \\ a+b+c=2p \\ a^2+b^2=c^2 \end{array}[/tex]
В резултат [tex]c=\frac{2p}{\sqrt{2}+1}[/tex]
[tex]p-c=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}c[/tex]
и най-голямата стойност [tex]h_{max}=(\sqrt{2}-1)p[/tex]

______________
По-точно [tex]maxh_{c}=(\sqrt{2}-1)p[/tex]
освен това - по отношение на хипотенузата, не е трудно да се види съответствието [tex]h\le \frac{c}{2}[/tex]

[Гост]

Благодаря за изчерпателния отговор