Отново екстремална задача

[Гост]

Здравейте, отново имам затруднения с една екстремална задача. Бих се радвала на вашата помощ
Периметърът на триъгълника АВС е 2р. Точките D и E върху страните АВ и АС са такива, че DE е успоредна на ВС и се допира до вписаната в триъгълника окръжност. Намерете дължината на страната ВС, при която DE има най-голяма дължина. Намерете най-голямата дължина на DE.

[Knowledge Greedy]

[tex]\Delta ADE \sim \Delta ABC \,\ \Rightarrow \,\ \frac{DE}{BC}=k \,\ \Rightarrow \,\ DE=ka \,\ ( \ast)[/tex]

Екстремална задача за 7 юни.png (5.44 KiB) Прегледано 273 пъти

[tex]\Delta ADE \sim \Delta ABC \,\ \Rightarrow \,\ \frac{P_{\Delta ADE}}{P_{\Delta ABC}}=k \,\ \Rightarrow \frac{2(p-a)}{2p}=k \Rightarrow \,\ p-a=kp \,\ \Rightarrow \,\ a=(1-k)p \,\ ( \ast \ast)[/tex]

От [tex]( \ast)[/tex] и [tex]( \ast \ast)[/tex] следва, че [tex]DE=k(1-k)p[/tex]

Последното може да изследваме като квадратна функция на [tex]k[/tex] , но може и с неравенство между СГ и СА (средно геометрично, средно аритметично).
[tex]k(1-k)\le \left ( \frac{k+(1-k)}{2} \right )^2=\frac{1}{4}[/tex]
Следователно
[tex]max DE= \frac{1}{4}p[/tex]
и тази максимална стойност се достига при [tex]k=\frac{1}{2}[/tex]
При такава стойност на [tex]k[/tex] отсечката [tex]DE[/tex] е средна отсечка в триъгълника [tex]\Delta ABC[/tex].
Тогава
[tex]p-a=\frac{c}{2}=\frac{b}{2}[/tex], триъгълникът е равностранен и [tex]BC=\frac{2p}{3}[/tex]