Задача от изпит

[Гост]

зад. В триъгълника ABC са построени медианите AA1 и CC1, които се пресичат в точка O. Намерете отношението CA1:AO, ако [tex]S_{OA1N}=\frac{1}{12}S_{ABC}[/tex], където A1N е перпендикулярът от A1 към CC1

[Knowledge Greedy]

За краткост ще пишем само [tex]S[/tex] вместо [tex]S_{\Delta ABC}.[/tex]

Задачата с една дванадесета от S.png (5.9 KiB) Прегледано 233 пъти

Тъй като [tex]S_{ACO}=\frac{1}{3}S[/tex]
и [tex]S_{A_1CO}=\frac{1}{6}S[/tex],
то за да бъде
[tex]S_{A_1NO}=\frac{1}{12}S[/tex]
трябва точката [tex]N[/tex] да бъде среда на [tex]CO[/tex].
Тогава
[tex]\Delta NOA_1 \cong\Delta NCA_1[/tex]
и следователно
[tex]CA_1=OA_1[/tex], откъдето [tex]CA_1:AO=1:2[/tex]

[Гост]

Още една задача, която ме затруднява:
зад. Даден е правоъгълен триъгълник ABC([tex]\angle[/tex][tex]B=90^\circ[/tex]). Ъглополовящата на ъгъл ACB е перпендикулярна на медианата към хипотенузата и я пресича в точка K. Да се намери дължината на AK, ако лицето на описания около триъгълник ABC кръг е [tex]16\pi[/tex]

[KOPMOPAH]

Правоъгълен триъгълник.png (7.41 KiB) Прегледано 217 пъти

След като лицето на описания кръг е $16\pi$, то по формулата $S=\pi.R^2$ намираме $R=4$, $AC=8$, $AM=BM=CM=4$. От друга страна в $\triangle MBC$ $CK$ се явява и ъглополовяща, и височина (по условие), следователно $CM=CB$ и в крайна сметка $\triangle MBC$ е равностранен.
В $\triangle ABC$ $AC=8$, $AB=4\sqrt3$ и $BC=4$.
За $\triangle ABM$ $AK$ се явява медиана и е валидно $AK=\frac{\sqrt{2AM^2+2AB^2-BM^2}}{2}=\frac{\sqrt{2.16+2.16.3-16}}{2}=2\sqrt 7$

[zvenobg]

Правоъгълен триъгълник.png

След като лицето на описания кръг е $16\pi$, то по формулата $S=\pi.R^2$ намираме $R=4$, $AC=8$, $AM=BM=CM=4$. От друга страна в $\triangle MBC$ $CK$ се явява и ъглополовяща, и височина (по условие), следователно $CM=CB$ и в крайна сметка $\triangle MBC$ е равностранен.
В $\triangle ABC$ $AC=8$, $AB=4\sqrt3$ и $BC=4$.
За $\triangle ABM$ $AK$ се явява медиана и е валидно $AK=\frac{\sqrt{2AM^2+2AB^2-BM^2}}{2}=\frac{\sqrt{2.16+2.16.3-16}}{2}=2\sqrt 7$

[tex]AK^{2}= AM^{2} + \frac{AM^{2}}{4}-2*AM* \frac{AM}2*[/tex][tex]COS 120^\circ[/tex] косинусова теорема