Ирационално параметрично уравнение

[Гост]

Здравейте! Пробвах се да реша тази задача, но нещо не ми се получава
[tex]\sqrt{x-3}+\sqrt{x-7}=a[/tex]

[Davids]

[tex]\sqrt{x-3}+\sqrt{x-7}=a[/tex]

Лесно се вижда веднага, че за [tex]a \le 0[/tex] решения няма.
Следователно няма да разглеждаме случаи, а решения ще имаме засега само за [tex]a > 0[/tex]

Като първа допустима стойност за [tex]x[/tex] имаме: [tex]x \ge 7[/tex]

Повдигаме двете страни на втора степен и получаваме:
[tex]x - 3 + 2\sqrt{x^2 - 10x + 21} + x - 7 = a^2[/tex]
[tex]2\sqrt{x^2 - 10x + 21} = a^2 - 2x + 10[/tex]
Тук идва следващият важен момент - а именно, че:
[tex]a^2 - 2x + 10 \ge 0[/tex]
Но тъй като разглеждаме само [tex]a > 0[/tex], то даденото неравенство е еквивалентно на:
[tex]a^2 \ge 2x - 10[/tex]
[tex]x \le \frac{10 + a^2}{2}[/tex], което е втората допустима стойност за [tex]x[/tex].

Достигнали сме до вида:
[tex]2\sqrt{x^2 - 10x + 21} = a^2 - 2x + 10 |^2[/tex]
[tex]4(x^2 - 10x + 21) = (a^2 - 2x + 10)^2[/tex]
[tex]....[/tex]
[tex]....[/tex]
[tex]....[/tex]
[tex]a^4 + 20a^2 + 16 = 4a^2x[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x = \frac{a^4 + 20a^2 + 16}{4a^2}[/tex] !!
Ето го и коренът! Обаче трябва да се върнем при допустимите стойности:
[tex]\begin{array}{|l} x \ge 7 \\ x \le \frac{10 + a^2}{2} \end{array}[/tex]
Което след нужните преобразувания (обръщам внимание, че спокойно можем да делим и умножаваме двете страни с произведения на [tex]a[/tex], както в случая - [tex]4a^2[/tex], тъй като е положително число!) системата всъщност е равна на:
[tex]\begin{array}{|l} а \ge 2 \\ а \ge 2 \end{array}[/tex]
След като добавим и изначалното условие [tex]а > 0[/tex], то цялостната ни система за допустими стойности на [tex]а[/tex] придобива вида:
\begin{array}{|l} а > 0 \\ а \ge 2 \\ а \ge 2 \end{array}
Откъдето лесно извеждаме интервал за допустими стойности на a: [tex]а\in[2; +\infty)[/tex] a.k.a [tex]a \ge 2[/tex].
В случая допустимите стойности се виждат лесно и бързо и нужда от такова подробно описание няма, но искам да обърна внимание на всички детайли, защото при някои задачи са от ключово значение

И окончателно коренът ти е [tex]x = \frac{a^4 + 20a^2 + 16}{4a^2}[/tex], но решения съществуват само при [tex]a \ge 2[/tex].

[pal702004]

Функцията в лявата част на уравнението е нарастваща, минимума и е при $x=7$ и е равен на 2, следователно уравнението ще има точно един реален корен $\forall a \ge 2$
Като имаме предвид, че

$(\sqrt{x-3}+\sqrt{x-7})(\sqrt{x-3}-\sqrt{x-7})=4$

намираме
$\sqrt{x-3}-\sqrt{x-7}=\frac 4 a$

или

$\sqrt{x-3}=\frac 1 2\left(a+\frac 4 a\right)$

$x=\frac 1 4\left(a+\frac 4 a\right)^2+3,\quad \forall a\ge 2$

[Davids]

Аз малко с методи от началната фаза... За който не си е учил новите неща

[Гост]

Много благодаря за решението!
Имам още едно, което се опитвам да реша:
[tex]x-1=\sqrt{a-x^2}[/tex]

Това, което правя е следното:
Първо определям ДМ: [tex]\begin{array}{|l} а-x^2\ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{array}[/tex] [tex]=>[/tex] [tex]\begin{array}{|l} x \in[-\sqrt{a};\sqrt{a}] \\ x \ge 1 \end{array}[/tex]

Сега повдигам уравнението на квадрат:
[tex]x-1=\sqrt{a-x^2}[/tex] [tex]|^2[/tex]
и получавам:
[tex]2x^2-2x+1-a=0[/tex]
Смятам дискриминантата : [tex]D=2a-1[/tex]

След това 3 случея за дискриминантата:
1) [tex]D>0 => a>\frac{1}{2}[/tex]
=> уравнението има 2 реални корена: [tex]x_{1\2}[/tex][tex]=\frac{1\pm\sqrt{2a-1}}{2}[/tex]

[tex]x_1[/tex] е решение, ако: [tex]\begin{array}{|l} \frac{1\pm\sqrt{2a-1}}{2} \in[-\sqrt{a};\sqrt{a}] \\ \frac{1\pm\sqrt{2a-1}}{2} \ge 1 \end{array}[/tex]
от второто неравенство се получава [tex]a\ge1[/tex]
и същото за [tex]х_2[/tex]

2) [tex]D=0 =>a=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]=> x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=1[/tex]

3) [tex]D<0 => a<\frac{1}{2}[/tex]
у-то няма решение

И никак не съм сигурен дали е вярно

[Davids]

Дискриминантата не е ли
[tex]D = 4 - 4.2(1-a) = 4 - 8 + 8a = 8a - 4 = 4(2a-1)[/tex]

[pal702004]

Началото е правилно, все пак съвсем не е трудно да се определи, че решение може да има при $a \ge 1,\;x \in [1;\sqrt a]$
Само тогава се осигурява неотрицателност на двете страни на ур-ето. И да се повдигне на квадрат.
От Виет следва, че корените на ур-ето
$2x^2-2x+1-a=0$ при $a \ge 1$ са с различни знаци, (или единият е равен на нула) значи са реални и предвид условието $x \ge 1$ ни интересува само положителният корен, т.е

$x=\frac{1+\sqrt{2a-1}}{2}$
Остава да се покаже, че $\forall a \ge 1,\; x \in [1;\sqrt a]$, което съвсем не е трудно.

[Гост]

Откъде тогава ми е грешно решението?

[Davids]

Откъде тогава ми е грешно решението?

Писах по-горе за дискриминантата

[Гост]

Откъде тогава ми е грешно решението?

Писах по-горе за дискриминантата

Смятал съм я по съкратената формула. Там се получават 4 пъти по-малки числа.
А с решението?