Логаритмично уравнение

[Гост]

Да се намерят стойностите на параметър а, за които уравниението [tex]f(x)-\frac{2}{f(x)}+a=0[/tex] има решение в интервала [tex](\frac{1}{2};1)[/tex], където [tex]f(x)=log_{8}(2x^2+x)[/tex]

Идеи?

Според мен, ако х=1/2, то у=0, значи ще искаме y>0, ако х=1, то [tex]y=log_{8}3[/tex] и ще искаме [tex]y<log_{8}3[/tex]

[Добромир Глухаров]

Наистина $y\in(0;log_83)$

$f(x)-\frac{2}{f(x)}=y-\frac{2}{y}$

За стойностите от намерения за $y$ интервал $\frac{2}{y}$ намалява, а $y$ расте, следователно $y-\frac{2}{y}$ расте.

$\lim_{y\to+0}\left(y-\frac{2}{y}\right)=-\infty$

$y-\frac{2}{y}\in\left(-\infty;log_83-\frac{2}{log_83}\right)$

$-a=y-\frac{2}{y}\in\left(-\infty;log_83-\frac{2}{log_83}\right)\Rightarrow a\in\left(\frac{2}{log_83}-log_83;+\infty\right)$

Отговор (според мен): $a\in\left(2log_38-log_83;+\infty\right)$

[Гост]

Благодаря за отговора, г-н Глухаров. Аз се опитвам да реша тази задача по друг начин- разположение на корените върху числовата ос. Но пак нещо не се получава.

За решение на уравнението искам да обединя двата случая, в единия от които уравнението има точно един корен в $y\in(0;log_83)$, а в другия и двата корена на уравнението са в същия интервал.

При първия
[tex]f(0)*f(log_83)<0[/tex]
Но така получавам неравенство с логаритъма и параметъра, което е >0. Тук мисля, че ще се искаме да е винаги положително това неравенство за всяко а, и така D<0, което няма решение.

При втория случай имаме система
[tex]f(0)>0 , f(log_83)>0,D\ge0,0<-\frac{a}{2}<log_83[/tex]

Първото неравенство от системата не е изпълнено, за второто използваме полученото в първия случай, третото неравенство е винаги изпълнено, при другите [tex]a<0; a>-2log_83[/tex]

Откъдето получавам, че [tex]a\in(-2log_83;0)[/tex]

Как ви се струва? Нямам отговор и не мога да сверя. Задачата е от олимпиада.

[Добромир Глухаров]

$y=f(x)\in(0;log_83)$

$F(y)=y-\frac{2}{y}+a=\frac{y^2+ay-2}{y}=0|.y>0$ - умножаваме по $y$ понеже се явява в знаменател и $F(0)$ не съществува.

$F_1(y)=yF(y)=y^2+ay-2=0$ - за кои $a$ ще има корен между $0$ и $log_83$?

Ако искаме и двата корена да са между $0$ и $log_83$, трябва $\begin{array}{|l}F_1(0)>0\\F_1(log_83)>0\end{array}$, но $F_1(0)=-2<0$, следователно само един корен може да е между $0$ и $log_83$, когато $F_1(0).F_1(log_83)<0$


$-2.(log_8^23+alog_83-2)<0$

$a>\frac{2}{log_83}-log_83$

[Гост]

Ясно, благодаря ви