Всички прости числа, сравнение

[Гост]

Да се намерят всички прости числа p , такива че е изпълнено:
[tex]5^{\frac{p-1}{2}} \equiv -10(mod p )[/tex]

[pal702004]

$5^{\frac {p-1}{2}} \equiv \{0,1,-1\} \pmod p$

$0\equiv -10 \pmod p \Rightarrow p=5$

$1\equiv -10 \pmod p \Rightarrow p=11$

$-1\equiv -10 \pmod p \Rightarrow p=3$

[Гост]

$5^{\frac {p-1}{2}} \equiv \{0,1,-1\} \pmod p$

$0\equiv -10 \pmod p \Rightarrow p=5$

$1\equiv -10 \pmod p \Rightarrow p=11$

$-1\equiv -10 \pmod p \Rightarrow p=3$

Как прецени, че 5 е сравнимо с 0, 1 и -1. Може ли да обясниш?

[pal702004]

При $p\ne 5$, по малката теорема на Ферма

$5^{p-1}-1 \equiv 0 \pmod p$

Разликата на квадрати я разлагаме в произведение.

[Гост]

При $p\ne 5$, по малката теорема на Ферма

$5^{p-1}-1 \equiv 0 \pmod p$

Разликата на квадрати я разлагаме в произведение.

Пак не ми стана ясно. Къде слагаш знаменателя от степента, и защо пишеш -1, а не -5?

[Гост]

Някой да обясни?

[pal702004]

Уф, теорема на Ферма, разлика на квадрати...сложнотия. Добре, нека да е с тази формулировка - от Уикипедия.
Твеорема на Ферма:
$a^p-a$ се дели на $p$

$a(a^{p-1}-1)$ се дели на $p$

$p-1$ е четно число

$a\left(a^{\frac {p-1}{2}}-1\right)\left(a^{\frac {p-1}{2}}+1\right)$ се дели на $p$ за всяко цяло $a$ и нечетно просто $p$

Към задачата - при нас $a=5$

$5\left(5^{\frac {p-1}{2}}-1\right)\left(5^{\frac {p-1}{2}}+1\right)\equiv 0 \pmod p$

По условие $5^{\frac {p-1}{2}}\equiv -10 \pmod p$

$5\cdot(-11)\cdot (-9) \equiv 0 \pmod p$

Остава да се намерят простите делители на числото $5\cdot 11\cdot 9$, нарочно не го смятам.

[Гост]

Ами ако разбирах задачата изобщо нямаше да пиша тук, за какво ми е само решението, като не я разбирам?
Мерси за обяснението