С център върха С на равнобедрен ABC е построена дъга

[Гост]

С център върха С на равнобедрен ABC е построена дъга, която се допира до основата АВ и пресича АС и ВС в точките D и P. Да се намери периметъра на abc ако DP=24 и е отдалечена от АВ на 4см

[Davids]

duga_ravnobedren_triugulnik.png (27.4 KiB) Прегледано 237 пъти

Първо знаем, че [tex]\Delta DKC \cong \Delta PKC[/tex] по първи признак ([tex]CD = CP[/tex]; [tex]CK[/tex] - обща; [tex]\angle DCK = \angle KCP[/tex]. Оттам следва, че [tex]CK \bot DP \Rightarrow DP || AB[/tex] и, понеже се получава височина в равнобедрен триъгълник, я разполовява и виждаме, че: [tex]DK = KP = 12cm[/tex]
Ще означим [tex]DC = HC = PC = h[/tex]
Тогава за [tex]CK = h - 4[/tex]
Правим питагорова теорема за [tex]\Delta PKC[/tex]:
[tex]h^2 = (h-4)^2 + 12^2[/tex]
[tex]\Rightarrow h = 20cm[/tex]
[tex]\Rightarrow CK = 20-4 = 16cm[/tex] и [tex]DC = HC = PC = 20[/tex]

Горе доказахме същевременно защо [tex]\Delta PKC \approx \Delta BHC[/tex] и от това подобие следва, че: (означаваме основата с [tex]a[/tex], а бедрото с [tex]b)[/tex]
[tex]\frac{16}{20} = \frac{12}{\frac{a}{2}} = \frac{20}{b} = \frac{4}{5}[/tex]
[tex]\Rightarrow 4b = 100 \Leftrightarrow b = 25[/tex]
[tex]\Rightarrow 12.b = 12.25 = 10a \Leftrightarrow a = 30[/tex]

И окончателно обиколката е [tex]P_{ABC} = a + 2b = 80cm[/tex]