Неравенствa с логаритми

[Гост]

Здравейте! Нужна ми е помощ с решението на тези неравенства и бих желал да видя метода за решаване на такъв тип задачи.
[tex]2^{x+1} + 2^{2-x} > 9[/tex]
[tex]6^{2x-3} \le 2^{x-7}.3^{3x-1}[/tex]
Благодаря предварително!

[Davids]

1.)
[tex]2^{x+1} + 2^{2-x} > 9[/tex]
[tex]2.2^x + \frac{2^2}{2^x} > 9[/tex]
Полагаме [tex]y = 2^x[/tex] и заместваме:
[tex]2y + \frac{4}{y} > 9[/tex]
Тъй като [tex]y > 0[/tex], освобождаваме от знаменател и знакът на неравенството се запазва.
[tex]2y^2 - 9y + 4 > 0[/tex]
[tex]y_1 = \frac{1}{2} \Rightarrow x_1 = log_2\frac{1}{2} = -1[/tex]
[tex]y_2 = 4 \Rightarrow x_2 = log_24 = 2[/tex]
Следователно, за да е изпълнено неравенството, трябва [tex]y \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (4; +\infty) \Leftrightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)[/tex]

2.)
[tex]6^{2x-3} \le 2^{x-7}.3^{3x-1}[/tex]
[tex]\frac{6^{2x}}{6^3} \le \frac{2^x}{2^7}.\frac{3^{3x}}{3}[/tex]
[tex]\frac{(2^x3^x)^2}{6^3} \le \frac{2^x}{2^7}.\frac{(3^{x})^3}{3}[/tex]
Полагаме: [tex]a = 2^x; b = 3^x[/tex]. Неравенството придобива вида:
[tex]\frac{a^2b^2}{2^3.3^3} \le \frac{ab^3}{2^7.3}[/tex]
Умножаваме покръстно:
[tex]\frac{a^2.b^2}{ab^3} \le \frac{2^3.3^3}{2^7.3}[/tex]
[tex]\frac{a}{b} \le \frac{3^2}{2^4}[/tex]
Заместваме положеното:
[tex](\frac{2}{3})^x \le \frac{9}{16}[/tex]
И тъй като основата на логаритъма ще е по-малка от едно, знака на неравенството се обръща:
[tex]x \ge log_{\frac{2}{3}}\frac{9}{16}[/tex];
или след леко преобразувание:
[tex]x \ge -2 + log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{4}[/tex]
[tex][/tex]