Помощ с една функция и една геометрична зад.

[Mathishard]

20161120_133553.jpg (1.82 MiB) Прегледано 214 пъти

Много ще съм благодарен ако някой удари едно рамо за 6 и 8:)

[Davids]

Преписвам условието в по-нагледен вид:

Докажете, че двете допирателни към параболата [tex]y = x^2[/tex], построени през точка [tex]P(-1; -\frac{1}{4})[/tex], са взаимно перпендикулярни.

Така, първо ще намерим уравненията на тези допирателни. Уравнението на права, минаваща през точка P, има първо вида: [tex]y_P = ax + b[/tex]
и спрямо координатите на точката, можем да изведем първата зависимост:
[tex]-\frac{1}{4} = -a + b \Rightarrow b = a - \frac{1}{4}[/tex]
Сега ще намерим за кои стойности на [tex]a, b[/tex] тази права има само по една пресечна точка с параболата (за да е допирателна). Това ще стане, като приравним уравненията на правата и параболата и търсим нулева дискриминанта на квадратното уравнение (за да е един коренът).
Тоест:
[tex]ax + b = x^2 \Rightarrow x^2 - ax - b = 0[/tex]
Дискриминантата е [tex]D = a^2 + 4b = 0[/tex], което е втората зависимост.

Вече можем да съставим системата, от която да намерим допирателните:
[tex]\begin{array}{|l} b = a - \frac{1}{4} \\ a^2 + 4b = 0 \end{array}[/tex]
Замествайки първото във второто, достигаме до:
[tex]a^2 + 4a - 1 = 0[/tex]
Решения са:
[tex]a_1 = -2-\sqrt{5} \Rightarrow b_1 = -\frac{9}{4}-\sqrt{5}[/tex]
[tex]a_2 = -2+\sqrt{5} \Rightarrow b_2 = -\frac{9}{4}+\sqrt{5}[/tex]

Оттам двете уравнения на допирателните са:
[tex]y_1 = -(2+\sqrt{5})x -\frac{9}{4}-\sqrt{5}[/tex]
[tex]y_2 = -(2-\sqrt{5})x -\frac{9}{4}+\sqrt{5}[/tex]

Единствено и достатъчно условие за успоредност на две прави в равнината е произведението на техните наклони да дава -1. Наклоните са коефициентите пред променливата, следователно трябва да докажем, че:
[tex]-(2+\sqrt{5}).[-(2-\sqrt{5})] = 4 - 5 = -1[/tex], с което сме доказали успоредността на допирателните.

П.П.: Коригирана след мнението по-долу.

[Mathishard]

Много благодаря за бързия отг. и е доста добре описана .Само на едното място май трябва да е b=a-1/4 a не b=a-1/4*b?

[Davids]

Много благодаря за бързия отг. и е доста добре описана .Само на едното място май трябва да е b=a-1/4 a не b=a-1/4*b?

Мда, останало е от [tex]-формата Поправих го.

[Knowledge Greedy]

Много красив килим, завеса или покривка за маса
Ако направиш снимката мааалко по-близо до задача 6, за да не търся помощта на един приятел криминалист, може би ще успеем да видим изцяло условието на задача 6